17、基于POT方法的广义帕累托分布（GPD）参数新估计器

基于POT方法的广义帕累托分布（GPD）参数新估计器

在极端事件分析中，广义帕累托分布（GPD）是一种常用的分布模型，用于描述超过某一阈值的极端值的分布情况。本文将介绍GPD参数估计的相关方法，包括峰超过阈值（POT）方法的基本原理以及现有的一些估计方法。

1. 峰超过阈值（POT）方法

峰超过阈值方法主要关注极端事件的随机行为，通过条件概率来描述。条件概率公式为：
[P{X > u} = \frac{1 - F(u + x)}{1 - F(u)}, x > 0]
这里，(F)是随机变量(X)的分布函数，(u)是设定的阈值。如果知道分布函数(F)，那么超过阈值的分布就可以确定，但在实际情况中，(F)往往是未知的，因此需要进行近似处理。

我们主要关注超过阈值(u)的超额分布函数(F_u(x))，其定义为：
[F_u(x) = P(X > u), 0 \leq x \leq x_F - u]
其中，(x_F \leq \infty)是(F)的右边界，即(x_F = \inf{x : F(x) = 1})。当(u)趋近于分布的右边界时，广义帕累托分布（GPD）是超额分布的极限分布。对于大的(u)，条件超额分布函数(F_u(x))可以很好地近似为(F_{k,\beta}(x))。

Pickands在1975年引入了广义帕累托分布（GPD），该分布在许多应用中被广泛用于模拟重尾现象。相关定理如下：
设(X_1, X_2, \cdots)是具有共同分布函数(F)的独立随机变量序列，(M_n = \max{X_1, \cdots, X_n})。对于大的(n)，若(P{M_n \leq x} \approx