46、多叶片转子自由旋转模式的特征值分析

多叶片转子自由旋转模式的特征值分析

1. 引言

在研究多叶片转子的动力学特性时，自由旋转模式的特征值分析至关重要。本文将详细介绍多叶片转子自由旋转模式特征值分析的方法，包括矩阵变换、约束处理、惯性力和力矩的计算，以及通过数值实验验证该方法的有效性。

2. 理论基础

2.1 刚度矩阵变换

对于多叶片转子，轮毂块 $K_1^t$ 是相对于浮动参考系 $H_i$ 的，不同叶片的参考系不同。需要将 $K_1^t$ 旋转回一致的参考系 $H$，公式如下：
[K_2^t = R_{X_i}K_1^tR_{X_i}^T]
其中，$R_{X_i} = diag [I_{3×3}, R_{\psi_i}, I_{12×12}] \in R^{18×18}$ 是块对角矩阵。最终，切线刚度矩阵 $K_2^t$ 根据其对应的坐标索引组装到系统刚度矩阵中。

2.2 约束处理

采用拉格朗日乘数法来建立涉及多个约束的动力学系统的运动方程，这些约束代表刚体和梁节点之间的关节连接。关节中反作用力和扭矩方向的变化会产生几何刚度项 $K_c = \frac{\partial C_q^T}{\partial q} \gamma$，其中 $C_q$ 是约束的雅可比矩阵，$\gamma$ 是与反作用力和扭矩相关的拉格朗日乘数。雅可比矩阵 $C_q$ 和完整约束的切线刚度矩阵 $K_c$ 可以在原始混合基 $\delta q_m$ 中用封闭形式的解析表达式计算，并已在开源多体库中实现。对 $C_q$ 和 $K_c$ 进行类似的变换以实现一致的基，这两个矩阵用于转子系统的微分代数方程（DAE）中。

2.3 惯性力和