16、多变量特殊多项式及其生成函数的深入解析

多变量特殊多项式及其生成函数的深入解析

在数学和量子物理领域，多变量特殊多项式及其生成函数有着重要的地位。本文将详细探讨这些多项式的定义、性质以及它们在量子态相关计算中的应用。

多变量特殊多项式的引入

通过对普通厄米多项式幂级数展开的研究，我们引入了两种新的多变量特殊多项式及其生成函数。将普通厄米多项式中的((-1)^l)和(x^{n - l}y^{m - l})替换为更一般的幂函数(\vartheta^l)（(\vartheta)为任意参数）以及两个不同厄米多项式的乘积(H_{n - l}(x/2)H_{m - l}(y/2))，得到：
[
\sum_{l = 0}^{\min(n,m)} \binom{n}{l} \binom{m}{l} l!\vartheta^lH_{n - l}\left(\frac{x}{2}\right) H_{m - l}\left(\frac{y}{2}\right)
]
这是一个新的特殊多项式，在量子物理中有特定的应用。当(x^{n - l}y^{m - l})被替换为双变量厄米多项式的乘积(H_{n - i,m - j}(x, y)H_{l - i,k - j}(x’, y’))时，又会得到另一个新的特殊多项式。

三变量情况

利用(H_{n,m}(x, y))的原始定义，将多项式(H_{n,m}(x, y; \vartheta))展开为：
[
H_{n,m}(x, y; \vartheta) = \frac{\partial^{n + m}}{\partial s^n\partial \tau^m} \exp (\vartheta s\tau + sx + \tau y)\big| {s = \tau = 0} = \sum {l = 0}^{\min(n,m)} \binom{n}{l} \binom{m}{l} l!\vartheta^l x^{n - l} y^{m - l}
]
引入叠加算符(X = \sqrt{2}(a + a^{\dagger}))和(Y = \sqrt{2}(b + b^{\dagger}))（其中(a^{\dagger}, b^{\dagger})分别为两个模式的玻色产生算符，且([X, Y] = 0)），将((x, y))替换为((X, Y))，得到算符恒等式：
[
H_{n,m}(X, Y; \vartheta) = \frac{\partial^{n + m}}{\partial s^n\partial \tau^m} \exp (\vartheta s\tau + sX + \tau Y)\big| {s = \tau = 0} = \sum {l = 0}^{\min(n,m)} \binom{n}{l} \binom{m}{l} l!\vartheta^l X^{n - l} Y^{m - l}
]
利用(X^n)和(Y^m)的反正规序乘积(X^n = \cdots H_n\left(\frac{X}{2}\right) \cdots)，(Y^m = \cdots H_m\left(\frac{Y}{2}\right) \cdots)，可将上式重写为：
[
H_{n,m}(X, Y; \vartheta) = \sum_{l = 0}^{\min(n,m)} \binom{n}{l} \binom{m}{l} l!\vartheta^l \cdots H_{n - l}\left(\frac{X}{2}\right) H_{m - l}\left(\frac{Y}{2}\right) \cdots
]
结合格劳伯公式，得到算符恒等式：
[
\frac{\partial^{n + m}}{\partial s^n\partial \tau^m} \cdots \exp (sX + \tau Y + \vartheta s\tau - s^2 - \tau^2) \cdots\big| {s = \tau = 0} = \sum {l = 0}^{\min(n,m)} \binom{n}{l} \binom{m}{l} l!\vartheta^l \cdots H_{n - l}\left(\frac{X}{2}\right) H_{m - l}\left(\frac{Y}{2}\right) \cdots
]
将((X, Y))替换为((x, y))并与(H_{n,m}(x, y))的定义比较，得到生成函数：
[
\exp (-s^2 - \tau^2 + \vartheta s\tau + sx + \tau y) = \sum_{n,m = 0}^{\infty} \frac{s^n\tau^m}{n!m!} H_{n,m} (x, y; \vartheta)
]
其中(H_{n,m} (x, y; \vartheta))是一个新的双指标、三变量特殊多项式。当(\vartheta = 0)时，该多项式退化为(H_n(x/2)H_m(y/2))。其偏微分关系为：
[
\frac{\partial}{\partial x} H_{n,m} (x, y; \vartheta) = nH_{n - 1,m} (x, y; \vartheta)
]
[
\frac{\partial}{\partial y} H_{n,m} (x, y; \vartheta) = mH_{n,m - 1} (x, y; \vartheta)
]
高阶偏微分方程为：
[
\frac{\partial^{k + l}}{\partial x^k\partial y^l} H_{n,m} (x, y; \vartheta) = \frac{n!m!}{(n - k)!(m - l)!}H_{n - k,m - l} (x, y; \vartheta)
]

六变量情况

为推导六变量特殊多项式，引入乘积(H_{n,l}(x, x’; \nu)H_{m,k}(y, y’; \upsilon))，记为(F_{n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon))，其偏微分形式为：
[
F_{n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon) = \frac{\partial^{m + n}}{\partial s^n\partial \tau^m} \frac{\partial^{l + k}}{\partial s’^l\partial \tau’^k} \exp (\nu ss’ + \upsilon \tau\tau’ + sx + s’x’ + \tau y + \tau’y’)\big| {s = s’ = \tau = \tau’ = 0}
]
引入四个叠加算符(W = a + b^{\dagger})，(Z = a^{\dagger} + b)，(W’ = c + d^{\dagger})，(Z’ = c^{\dagger} + d)（它们相互对易，(a^{\dagger}, b^{\dagger}, c^{\dagger}, d^{\dagger})分别为四个模式的玻色产生算符），将(x \to W)，(y \to Z)，(x’ \to W’)，(y’ \to Z’)代入上式，得到：
[
F {n,m,l,k}(W, Z, W’, Z’; \nu, \upsilon) = \frac{\partial^{m + n}}{\partial s^n\partial \tau^m} \frac{\partial^{l + k}}{\partial s’^l\partial \tau’^k} \exp (\nu ss’ + \upsilon \tau\tau’ + sW + s’W’ + \tau Z + \tau’Z’)\big| {s = s’ = \tau = \tau’ = 0}
]
[
= \sum {i, j = 0}^{\min(n,m,l,k)} \binom{n}{i} \binom{m}{j} \binom{l}{i} \binom{k}{j} i!j!\nu^i\upsilon^j W^{n - i}W’^{l - i} Z^{m - j} Z’^{k - j}
]
利用算符的(s)序展开和纠缠态(|\zeta\rangle)的完备性关系，得到算符恒等式：
[
W^n Z^m = \cdots H_{n,m} (W, Z) \cdots
]
[
W’^l Z’^k = \cdots H_{l,k} (W’, Z’) \cdots
]
将其代入(F_{n,m,l,k}(W, Z, W’, Z’; \nu, \upsilon))的表达式，得到其反正规序形式：
[
F_{n,m,l,k}(W, Z, W’, Z’; \nu, \upsilon) = \sum_{i, j = 0}^{\min(n,m,l,k)} \binom{n}{i} \binom{m}{j} \binom{l}{i} \binom{k}{j} i!j!\nu^i\upsilon^j \cdots H_{n - i,m - j} (W, Z) H_{l - i,k - j} (W’, Z’) \cdots
]
结合格劳伯公式，定义新的四指标、六变量特殊多项式：
[
\frac{\partial^{m + n}}{\partial s^n\partial \tau^m} \frac{\partial^{l + k}}{\partial s’^l\partial \tau’^k} \exp (-s\tau - s’\tau’ + \nu ss’ + \upsilon \tau\tau’ + xs + x’s’ + y\tau + y’\tau’)\big| {s = s’ = \tau = \tau’ = 0}
]
[
= \sum {i, j = 0}^{\min(n,m,l,k)} \binom{n}{i} \binom{m}{j} \binom{l}{i} \binom{k}{j} i!j!\nu^i\upsilon^j H_{n - i,m - j} (x, y) H_{l - i,k - j} (x’, y’) \equiv F_{n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon)
]
其生成函数为：
[
\exp (-s\tau - s’\tau’ + \nu ss’ + \upsilon \tau\tau’ + xs + x’s’ + y\tau + y’\tau’) = \sum_{n,m,l,k = 0}^{\infty} \frac{s^n\tau^m s’^l\tau’^k}{n!m!l!k!} F_{n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon)
]
其偏微分关系为：
[
\frac{\partial^{i + j}}{\partial x^i\partial y^j} \frac{\partial^{i’ + j’}}{\partial x’^{i’}\partial y’^{j’}} F_{n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon) = \frac{n!m!l!k!}{(n - i)!(m - j)!(l - i’)!(k - j’)!} F_{n - i,m - j,l - i’,k - j’}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon)
]

新算符恒等式和积分公式

利用前面的结果，得到新的算符恒等式(H_{n,m}(X, Y; \vartheta) = \cdots H_{n,m} (X, Y; \vartheta) \cdots)，由此可得(H_{n,m}(X, Y; \vartheta))的递推公式：
[
nmH_{n - 1,m - 1} (X, Y; \vartheta) - nXH_{n - 1,m} (X, Y; \vartheta) + nH_{n,m} (X, Y; \vartheta) = 0
]
进而得到(H_{n,m} (x, y; \vartheta))的递推公式：
[
nmH_{n - 1,m - 1} (x, y; \vartheta) - nxH_{n - 1,m} (x, y; \vartheta) + nH_{n,m} (x, y; \vartheta) = 0
]
还得到算符恒等式(H_{n,m} (X, Y; \vartheta) = : H_{n,m} (X, Y; \vartheta) :)，作用于双模真空得到新的量子态(H_{n,m}(\sqrt{2}a^{\dagger}, \sqrt{2}b^{\dagger}; \vartheta) |00\rangle)。同时得到积分公式：
[
\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dq_1dq_2 e^{-(q_1 - x)^2 - (q_2 - y)^2} H_{n,m}(2q_1, 2q_2; \vartheta) = H_{n,m} (2x, 2y; \vartheta)
]
以及其他相关算符恒等式和积分公式，如：
[
H_{n,m}(\sqrt{\vartheta}W, \sqrt{\vartheta^ }Z; |\vartheta|) = \cdots H_n\left(\frac{\sqrt{\vartheta}W}{2}\right) H_m\left(\frac{\sqrt{\vartheta^ }Z}{2}\right) \cdots
]
[
\int \frac{d^2\zeta}{\pi} e^{-(\zeta - \sigma)(\zeta^ - \sigma^ )} H_n\left(\frac{\sqrt{\vartheta}\zeta}{2}\right) H_m\left(\frac{\sqrt{\vartheta^ }\zeta^ }{2}\right) = H_{n,m}(\sqrt{\vartheta}\sigma, \sqrt{\vartheta^ }\sigma^ ; |\vartheta|)
]

应用

这些多变量特殊多项式在量子态的研究中有重要应用，下面从三个方面进行介绍：
1. 归一化
- 多光子调制态(a^mS(r)|0\rangle)的归一化系数 ：多光子调制态(a^mS(r)|0\rangle)可通过对压缩真空(S(r)|0\rangle)进行(m)次单光子减法操作得到。其归一化系数(N_m)的计算步骤如下：
- 根据(a^{\dagger m}a^m = \cdots H_{m,m}(a^{\dagger}, a) \cdots)，得到(N_m = \text{sech} r \langle 0| \cdots \exp \left(\frac{1}{2}a^2 \tanh r\right) H_{m,m}(a^{\dagger}, a) \exp \left(\frac{1}{2}a^{\dagger 2} \tanh r\right) \cdots |0\rangle)。
- 代入相干态的完备性，利用(H_{n,m}(x, y))的生成函数和积分公式，得到(N_m = \frac{\partial^{2m}}{\partial s^m\partial \tau^m} e^{\frac{1}{4} (\tau^2 + s^2) \sinh 2r + \tau s \sinh^2 r}\big| {s = \tau = 0})。
- 与(H {n,m} (x, y; \vartheta))的生成函数比较，得到(N_m = \left(-\frac{1}{4 \sinh 2r}\right)^m H_{m,m} (0, 0; -2 \tanh r))。实际上，(N_m)还可表示为勒让德多项式(P_m(x))的形式，即(H_{m,m} (0, 0; -2 \tanh r) = m!(i2 \text{sech} r)^mP_m(i \sinh r))。当(m = 0)时，(N_0 = 1)；当(m = 1)时，(N_1 = \sinh^2 r)。
- 光子调制相干态((ta + ra^{\dagger})^m |\gamma\rangle)的归一化系数 ：该态可通过对相干态(|\gamma\rangle)进行(m)次光子减法和加法的基本相干叠加操作得到。其归一化系数(N_m)的计算步骤如下：
- 利用((ta + ra^{\dagger})^m = \left(-i\sqrt{\frac{rt}{2}}\right)^m : H_m\left(\frac{ita + ra^{\dagger}}{\sqrt{2rt}}\right) :)，将态重写为((ta + ra^{\dagger})^m |\gamma\rangle = \left(-i\sqrt{\frac{rt}{2}}\right)^m H_m\left(\frac{it\gamma + ra^{\dagger}}{\sqrt{2rt}}\right) |\gamma\rangle)。
- 利用相干态的完备性和(H_{n,m} (x, y; \vartheta))的生成函数，得到(N_m = \left(\frac{rt}{2}\right)^m \int \frac{d^2\beta}{\pi} e^{-|\beta|^2 - |\gamma|^2 + \beta^ \gamma + \beta\gamma^ } H_m\left(\frac{-it\gamma^ + r\beta}{\sqrt{2rt}}\right) H_m\left(\frac{it\gamma + r\beta^ }{\sqrt{2rt}}\right))
- ( = \left(\frac{rt}{2}\right)^m \frac{\partial^{2m}}{\partial s^m\partial \tau^m} e^{-s^2 - \tau^2 + \frac{2r}{t}s\tau + \rho s + \varrho^ \tau}\big| {s = \tau = 0} = \left(\frac{rt}{2}\right)^m H {m,m}\left(\varrho, \varrho^ ; \frac{2r}{t}\right))，其中(\varrho = i\sqrt{2} \frac{t\gamma + r\gamma^ }{\sqrt{rt}})。当(m = 0)时，(N_0 = 1)；当(m = 1)时，(N_1 = r^2 + |t\gamma + r\gamma^ |^2)。当(\gamma = 0)时，(N_m)为((ta + ra^{\dagger})^m |0\rangle)的归一化系数。
- 双模纠缠态(H_{n,m}(f a^{\dagger}, g b^{\dagger}) S_2(r) |00\rangle)的归一化系数 ：该态可通过将压缩真空(S_2(r) |00\rangle)输入两个可调平行分束器并进行条件多光子测量得到。其归一化系数(N_{n,m})的计算步骤如下：
- (N_{n,m} = \text{sech}^2 r \langle 00| e^{ab \tanh r} H_{n,m} (f a, g b) H_{n,m}(f a^{\dagger}, g b^{\dagger}) e^{a^{\dagger}b^{\dagger} \tanh r} |00\rangle)。
- 代入双模相干态的完备性并利用积分公式，得到(N_{n,m} = \frac{\partial^{n + m}}{\partial s^n\partial \tau^m} \frac{\partial^{2m}}{\partial s’^n\partial \tau’^m} \exp \left(-s\tau + s’\tau’ \frac{1}{f} + f^2 s s’ \cosh^2 r + g^2 \tau\tau’ \cosh^2 r\right)\big| {s = \tau = s’ = \tau’ = 0})，其中(f = \frac{2}{2 - fg \sinh 2r})。
- 利用(F {n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon))的原始定义，得到(N_{n,m} = F_{n,m,n,m}(0, 0, 0, 0; f f^2 \cosh^2 r, fg^2 \cosh^2 r) f^{n + m})。当(r = 0)，(f = 1)时，(N_{n,m})为(H_{n,m}(f a^{\dagger}, g b^{\dagger}) |00\rangle)的归一化系数；当(f = g = 0)时，(N_{n,m} = (-1)^{n + m}n!m!)。
2. 光子计数分布
- 单模量子态(\rho)的光子计数分布 ：其计算公式为(P(n) = \frac{\xi^n}{(\xi - 1)^n} \int \frac{d^2\alpha}{\pi} e^{-\xi|\alpha|^2}L_n(|\alpha|^2) \left\langle \sqrt{1 - \xi}\alpha \right| \rho \left| \sqrt{1 - \xi}\alpha \right\rangle)，其中(\xi)为在某一区间检测到单光子的概率。在理想情况下(\xi = 1)，(P(n))为(\rho)的光子数分布。以(a^mS(r)|0\rangle)为例，计算步骤如下：
- 利用(a^mS(r)|0\rangle)的密度算符的正规序乘积，计算(\left\langle \sqrt{1 - \xi}\alpha \right| \rho \left| \sqrt{1 - \xi}\alpha \right\rangle = \text{sech} r \tanh^m r \frac{H_m(\varpi\alpha^ ) H_m(\varpi^ \alpha)}{N_m 2^m} e^{-(1 - \xi)|\alpha|^2 + \frac{1 - \xi}{2} (\alpha^{ 2} + \alpha^2) \tanh r})，其中(\varpi = \frac{i}{2} [(1 - \xi) \tanh r]^{1/2})。
- 代入(P(n))的公式，利用相关关系得到(P(n) = \frac{\xi^n \text{sech} r \tanh^m r}{N_m 2^m n! (1 - \xi)^n} \frac{\partial^{2m}}{\partial s^m\partial \tau^m} \frac{\partial^{2n}}{\partial s’^n\partial \tau’^n} e^{-s^2 - \tau^2 - s’\tau’} \int \frac{d^2\alpha}{\pi} e^{-|\alpha|^2 + \frac{1 - \xi}{2} (\alpha^{ 2} + \alpha^2) \tanh r} e^{2s\varpi\alpha^ + 2\tau\varpi^ \alpha + s’\alpha + \tau’\alpha^ }\big|_{s = \tau = s’ = \tau’ = 0})。
- 利用积分公式，得到(P(n) = \frac{\xi^n \text{sech} r \tanh^m r \omega^{1/2}}{N_m 2^m n! (1 - \xi)^n} \frac{\partial^{2m}}{\partial s^m\partial \tau^m} \frac{\partial^{2n}}{\partial s’^n\partial \tau’^n} \exp \left((\omega - 1) s’\tau’ + 4\omega |\varpi|^2 s\tau + 2\omega\varpi^ \tau\tau’ + 2\omega\varpi s s’ - 4\varepsilon\omega\varpi s\tau’ - 4\varepsilon\omega\varpi^ s’\tau - \varepsilon\omega s’^2 - \varepsilon\omega\tau’^2 - (1 + 4\varepsilon\omega\varpi^2) s^2 - (1 + 4\varepsilon\omega\varpi^{ 2}) \tau^2\right)\big| {s = \tau = s’ = \tau’ = 0})，其中(\omega = \frac{1}{1 - 4\varepsilon^2})，(\varepsilon = \frac{(\xi - 1) \tanh r}{2})。
- 利用(H {n,m} (x, y; \vartheta))的原始定义，得到(P(n))的解析公式，它与两个不同的三变量多项式的乘积有关。当(m = 0)时，(P_{m = 0}(n) = \frac{\xi^n \omega^{1/2} (\varepsilon\omega)^n \text{sech} r}{n! (1 - \xi)^n} H_{n,n}(0, 0; \frac{\omega - 1}{\varepsilon\omega}))。当(\xi = 1)时，(P(n))为(a^mS(r)|0\rangle)的光子数分布。
- 态(|m\rangle)在热通道中的光子计数分布演化 ：引入新公式(P(n) = \frac{4 (-\xi)^n}{(2 - \xi)^{n + 1}} \int d^2\alpha e^{-\frac{2\xi|\alpha|^2}{2 - \xi}}L_n\left(\frac{4 |\alpha|^2}{2 - \xi}\right) W(\alpha))，其中(W(\alpha))为单模量子态(\rho)的维格纳分布函数。(|m\rangle)在热通道中的维格纳分布函数为(W_m (\alpha, t) = \frac{[2 (\bar{n} + 1) T - 1]^m}{\pi (2\bar{n}T + 1)^{m + 1}} L_m(|g\alpha|^2) \exp \left(-\frac{2 |\alpha|^2}{2\bar{n}T + 1}\right))，其中(g = \frac{2e^{-\kappa t}}{\sqrt{(2\bar{n}T + 1) [1 - 2 (\bar{n} + 1) T]}})，(T = 1 - e^{-2\kappa t})，(\kappa)为衰减率，(\bar{n})为热场的平均光子数。计算步骤如下：
- 代入(P(n))的公式，利用类似方法得到(P(n, t) = \frac{4\xi^n [1 - 2 (\bar{n} + 1) T]^m}{n!m! (2 - \xi)^{n + 1} (2\bar{n}T + 1)^{m + 1}} \frac{\partial^{2n}}{\partial s^n\partial \tau^n} \frac{\partial^{2m}}{\partial s’^m\partial \tau’^m} e^{-s\tau - s’\tau’} \int \frac{d^2\alpha}{\pi} e^{-g’|\alpha|^2 + \frac{2(\alpha s + \alpha^ \tau)}{\sqrt{2 - \xi}} + g\alpha\tau’ + g\alpha^ s’}\big| {s = \tau = s’ = \tau’ = 0})，其中(g’ = \frac{2\xi}{2 - \xi} + \frac{2}{2\bar{n}T + 1})。
- 利用(F {n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon))的原始定义，重写为(P(n, t) = \frac{4\xi^n [1 - 2 (\bar{n} + 1) T]^m [g’ (2 - \xi) - 4]^n}{n!m! (2 - \xi)^{2n + 1} (2\bar{n}T + 1)^{m + 1} g’^{n + m + 1}} (g’ - g^2)^m F_{n,n,m,m} (0, 0, 0, 0; h, h))，其中(h = \frac{2g}{\sqrt{(g’ - g^2) [g’ (2 - \xi) - 4]}})。当(t \to \infty)时，(P(n, t))为热场的光子计数分布；当(\xi = 1)时，(P(n, t))为(|m\rangle)在热通道中的光子数分布演化。
3. 维格纳分布函数
- 态((ta + ra^{\dagger})^m |\gamma\rangle)的维格纳分布函数 ：根据定义(W(\alpha) = \text{tr}[\rho\Delta(\alpha)])，其中(\Delta(\alpha))为单模维格纳算符的相干态表示。计算步骤如下：
- (W(\alpha) = \frac{(rt)^m e^{2|\alpha|^2 - |\gamma|^2}}{2^m N_m} \frac{1}{\pi^2} \int d^2\alpha’ H_m\left(\frac{-it\gamma^ + r\alpha’}{\sqrt{2rt}}\right) H_m\left(\frac{it\gamma - r\alpha’^ }{\sqrt{2rt}}\right) e^{-|\alpha’|^2 + (2\alpha - \gamma)\alpha’^ - (2\alpha^ - \gamma^ ) \alpha’})。
- 利用(H_n(x))的生成函数和积分公式，得到(W(\alpha) = \frac{(rt)^m}{\pi 2^m N_m} e^{-2|\alpha - \gamma|^2} \frac{\partial^{2m}}{\partial s^m\partial \tau^m} \exp \left(-s^2 - \tau^2 - \frac{2r}{t} s\tau + \kappa s + \kappa^ \tau\right)\big| {s = \tau = 0} = \frac{(rt)^m e^{-2|\alpha - \gamma|^2}}{\pi 2^m N_m} H {m,m}\left(\kappa, \kappa^ ; -\frac{2r}{t}\right))，其中(\kappa = \frac{i\sqrt{2} (t\gamma - r\gamma^ + 2r\alpha^ )}{\sqrt{rt}})。当(m = 0)时，(W_0(\alpha) = \pi^{-1}e^{-2|\alpha - \gamma|^2})，为相干态(|\gamma\rangle)的维格纳分布函数；当(m = 1)时，(W_1(\alpha) = \frac{|t\gamma - r\gamma^ + 2r\alpha^ |^2 - r^2}{r^2 + |t\gamma + r\gamma^ |^2} W_0(\alpha))。通过绘图可知，(W(\alpha))的负体积随(r)增大而增大，随(\gamma)增大而减小，随(m)的变化不规则。因此，为提高((ta + ra^{\dagger})^m |\gamma\rangle)的非经典性，需要精确的(m)、较高的(r)和较小的(\gamma)。
- 态(H_{n,m}(f a^{\dagger}, g b^{\dagger}) S_2(r) |00\rangle)的维格纳分布函数 ：计算步骤如下：
- (W(\alpha, \beta) = \frac{\text{sech}^2 r}{\pi^2 N_{n,m}} e^{2(|\alpha|^2 + |\beta|^2)} \frac{1}{\pi^2} \int d^2\alpha’ d^2\beta’ H_{n,m}(-f \alpha’^ , -g\beta’^ ) H_{n,m}(f \alpha’, g\beta’) \exp \left((\alpha’\beta’ + \alpha’^ \beta’^ ) \tanh r + 2 (\alpha\alpha’^ + \beta\beta’^ - |\alpha’|^2) - 2 (|\beta’|^2 + \beta^ \beta’ + \alpha^ \alpha’)\right))。
- 利用(H_{n,m}(x, y))的生成函数和积分公式，得到(W(\alpha, \beta) = \frac{1}{\pi^2 N_{n,m}} e^{2(|\beta|^2 - |\alpha|^2) - |G|^2 \cosh^2 r} \frac{\partial^{n + m}}{\partial s^n\partial \tau^m} \frac{\partial^{n + m}}{\partial s’^n\partial \tau’^m} \exp \left(-\frac{1}{f} (s\tau + s’\tau’) - g^2 \tau\tau’ \cosh^2 r - f^2 s s’ \cosh^2 r - gG^ \tau \cosh^2 r - gG\tau’ \cosh^2 r + 2f \cosh r (\alpha \cosh r - \beta^ \sinh r) s + 2f \cosh r (\alpha^ \cosh r - \beta \sinh r) s’\right)\big| {s = \tau = s’ = \tau’ = 0} = \frac{1}{\pi^2 N {n,m} f^{n + m}} \exp \left(-2 (|\alpha|^2 + |\beta|^2) \cosh 2r + 2 (\alpha\beta + \alpha^ \beta^ ) \sinh 2r\right) F_{n,m,n,m}(\varrho’, \kappa’, \varrho’^ , \kappa’^ ; -f^2 f \cosh^2 r, -g^2 f \cosh^2 r))，其中(\varrho’ = 2f \sqrt{f} \cosh r (\alpha \cosh r - \beta^ \sinh r))，(\kappa’ = -g \sqrt{f} G^ \cosh^2 r)，(G = 2\alpha \tanh r - 2\beta^ )。当(r = 0)，(f = 1)时，(W(\alpha, \beta))为(H_{n,m}(f a^{\dagger}, g b^{\dagger}) |00\rangle)的维格纳分布函数；当(f = g = 0)时，(W(\alpha, \beta))为双模压缩真空的维格纳分布函数。通过绘图可知，当(m = n \neq 0)时，(W(\alpha, \beta))在向上的主峰两侧有两个负凹陷，且负凹陷随(m = n)的增大而缓慢增加，函数的压缩和负区域随压缩参数(r)的增大而增大，但负性随(m \neq n)或参数(f, g)的增大变化不确定。总之，(m = n)和(r)的增大可单调提高非经典性，而(f, g)和(m \neq n)的增大对非经典性的影响不规则。

综上所述，多变量特殊多项式及其生成函数在量子态的归一化、光子计数分布和维格纳分布函数的计算中有着广泛的应用，为量子物理的研究提供了重要的工具。通过对这些多项式的深入研究，我们可以更好地理解和描述量子态的性质和行为。

多变量特殊多项式及其生成函数的深入解析

公式总结与对比

为了更清晰地展示多变量特殊多项式及其相关公式，下面通过表格进行总结：
| 多项式类型 | 表达式 | 生成函数 | 偏微分关系 |
| — | — | — | — |
| 三变量 (H_{n,m} (x, y; \vartheta)) | (H_{n,m}(x, y; \vartheta) = \sum_{l = 0}^{\min(n,m)} \binom{n}{l} \binom{m}{l} l!\vartheta^l x^{n - l} y^{m - l}) | (\exp (-s^2 - \tau^2 + \vartheta s\tau + sx + \tau y) = \sum_{n,m = 0}^{\infty} \frac{s^n\tau^m}{n!m!} H_{n,m} (x, y; \vartheta)) | (\frac{\partial}{\partial x} H_{n,m} (x, y; \vartheta) = nH_{n - 1,m} (x, y; \vartheta))
(\frac{\partial}{\partial y} H_{n,m} (x, y; \vartheta) = mH_{n,m - 1} (x, y; \vartheta))
(\frac{\partial^{k + l}}{\partial x^k\partial y^l} H_{n,m} (x, y; \vartheta) = \frac{n!m!}{(n - k)!(m - l)!}H_{n - k,m - l} (x, y; \vartheta)) |
| 六变量 (F_{n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon)) | (F_{n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon) = \sum_{i, j = 0}^{\min(n,m,l,k)} \binom{n}{i} \binom{m}{j} \binom{l}{i} \binom{k}{j} i!j!\nu^i\upsilon^j H_{n - i,m - j} (x, y) H_{l - i,k - j} (x’, y’)) | (\exp (-s\tau - s’\tau’ + \nu ss’ + \upsilon \tau\tau’ + xs + x’s’ + y\tau + y’\tau’) = \sum_{n,m,l,k = 0}^{\infty} \frac{s^n\tau^m s’^l\tau’^k}{n!m!l!k!} F_{n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon)) | (\frac{\partial^{i + j}}{\partial x^i\partial y^j} \frac{\partial^{i’ + j’}}{\partial x’^{i’}\partial y’^{j’}} F_{n,m,l,k}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon) = \frac{n!m!l!k!}{(n - i)!(m - j)!(l - i’)!(k - j’)!} F_{n - i,m - j,l - i’,k - j’}(x, y, x’, y’; \nu, \upsilon)) |

从表格中可以看出，三变量和六变量特殊多项式在表达式、生成函数和偏微分关系上有一定的相似性，但也存在明显的差异。这种差异主要体现在变量的数量和多项式的结构上，而这些差异决定了它们在不同场景下的应用。

应用流程梳理

下面通过 mermaid 流程图展示多变量特殊多项式在量子态相关计算中的应用流程：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B{选择应用类型}:::decision
    B -->|归一化| C(确定量子态类型):::process
    B -->|光子计数分布| D(确定单模量子态或态在热通道中的情况):::process
    B -->|维格纳分布函数| E(确定态的形式):::process
    C --> F{多光子调制态 \(a^mS(r)|0\rangle\) 或光子调制相干态 \((ta + ra^{\dagger})^m |\gamma\rangle\) 或双模纠缠态 \(H_{n,m}(f a^{\dagger}, g b^{\dagger}) S_2(r) |00\rangle\)}:::decision
    F -->|多光子调制态 \(a^mS(r)|0\rangle\)| G(计算归一化系数 \(N_m\)):::process
    F -->|光子调制相干态 \((ta + ra^{\dagger})^m |\gamma\rangle\)| H(计算归一化系数 \(N_m\)):::process
    F -->|双模纠缠态 \(H_{n,m}(f a^{\dagger}, g b^{\dagger}) S_2(r) |00\rangle\)| I(计算归一化系数 \(N_{n,m}\)):::process
    D --> J{单模量子态 \(a^mS(r)|0\rangle\) 或态 \(|m\rangle\) 在热通道中}:::decision
    J -->|单模量子态 \(a^mS(r)|0\rangle\)| K(计算光子计数分布 \(P(n)\)):::process
    J -->|态 \(|m\rangle\) 在热通道中| L(计算光子计数分布演化 \(P(n, t)\)):::process
    E --> M{态 \((ta + ra^{\dagger})^m |\gamma\rangle\) 或态 \(H_{n,m}(f a^{\dagger}, g b^{\dagger}) S_2(r) |00\rangle\)}:::decision
    M -->|态 \((ta + ra^{\dagger})^m |\gamma\rangle\)| N(计算维格纳分布函数 \(W(\alpha)\)):::process
    M -->|态 \(H_{n,m}(f a^{\dagger}, g b^{\dagger}) S_2(r) |00\rangle\)| O(计算维格纳分布函数 \(W(\alpha, \beta)\)):::process
    G --> P([结束]):::startend
    H --> P
    I --> P
    K --> P
    L --> P
    N --> P
    O --> P

这个流程图清晰地展示了多变量特殊多项式在不同应用场景下的计算步骤。首先需要选择应用类型，然后根据具体的量子态类型进行相应的计算，最终得到所需的结果。

深入思考与拓展

多变量特殊多项式及其生成函数的研究为量子物理的发展提供了强大的工具，但仍有许多值得深入思考和拓展的方向。

在理论方面，虽然我们已经得到了三变量和六变量特殊多项式的相关公式和性质，但对于更高维度的特殊多项式，其定义、性质和应用还需要进一步研究。此外，这些多项式之间的关系和相互转化也值得深入探讨，例如如何从三变量多项式推导出六变量多项式，或者如何将不同类型的多项式进行统一表示。

在应用方面，除了本文介绍的归一化、光子计数分布和维格纳分布函数的计算，多变量特殊多项式还可能在其他量子物理领域有潜在的应用，如量子纠缠的度量、量子态的制备和操控等。通过进一步挖掘这些多项式的应用价值，可以为量子技术的发展提供更多的理论支持。

在计算方法方面，随着量子系统的复杂度不断增加，如何高效地计算多变量特殊多项式及其相关的积分和微分是一个亟待解决的问题。可以探索新的数值计算方法和算法优化，以提高计算效率和精度。

总结与展望

多变量特殊多项式及其生成函数在量子物理中具有重要的地位，它们为量子态的研究提供了丰富的数学工具。通过对这些多项式的定义、性质和应用的深入研究，我们可以更准确地描述和理解量子态的各种性质，如归一化、光子计数分布和维格纳分布函数等。

在归一化计算中，多变量特殊多项式帮助我们得到了不同量子态的归一化系数，这些系数对于描述量子态的概率和物理性质至关重要。在光子计数分布和维格纳分布函数的计算中，多项式的应用使得我们能够得到解析公式，从而更深入地研究量子态的统计特性和非经典性。

未来，我们可以进一步拓展多变量特殊多项式的研究范围，探索更高维度的多项式和新的应用场景。同时，不断优化计算方法，提高计算效率，以适应日益复杂的量子系统的研究需求。相信随着对多变量特殊多项式的深入研究，量子物理领域将取得更多的突破和进展。