15、量子态演化与广义二项定理：从理论到应用

量子态演化与广义二项定理：从理论到应用

1. 开放系统中量子态的演化与退相干

在开放系统里，量子态的演化和退相干是重要的研究内容。量子态常常展现出复杂的量子干涉现象，这源于双模压缩操作。当不存在多光子添加单模压缩热态时，量子态在相空间具有部分负性。随着参数 κt 或 ¯n 的增大，函数 Wp(α, β, t) 的部分负性会缓慢减小，量子干涉也会逐渐消失。当 κt 趋近于无穷大时，函数 Wp(α, β, t) 完全失去部分负性，其干涉特征消失，变为高斯分布 Wp(α, β, ∞)。并且，随着 m 或 n 的增加，退相干时间尺度 κt 会变长。

具体变化趋势

参数变化	函数 Wp(α, β, t) 变化	量子干涉变化	退相干时间尺度变化
κt 或 ¯n 增大	部分负性缓慢减小	逐渐消失	无明确变化趋势
m 或 n 增加	无明确变化	无明确变化	变长

2. 厄米多项式及其应用

厄米多项式作为一类著名的特殊多项式，在数学和物理领域有着广泛应用。这得益于它们具有一些基本性质，如正交性和完备性，以及相关的恒等式，像递推公式和生成函数。

2.1 单变量厄米多项式

单变量厄米多项式 Hn(x) 通过其生成函数定义：
[e^{-t^2 + 2xt} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} H_n(x)]
从物理角度看，Hn(x) 可用于解决量子（耦合）谐振子的本征值问题、分数傅里叶变换以及广义角动量系统等问题。

2.2 双变量厄米多项式

双变量厄米多项式 Hn,m(x, y) 有多种表示方式。其生成函数为：
[e^{-tt’ + tx + t’y} = \sum_{m,n = 0}^{\infty} \frac{t^n t’^m}{n! m!} H_{n,m}(x, y)]
也可以用偏微分表达式和幂级数展开式表示：
[H_{n,m}(x, y) = \frac{\partial^{n + m}}{\partial t^n \partial t’^m} e^{-tt’ + tx + t’y} \big| {t = t’ = 0} = \sum {l = 0}^{\min(m,n)} \binom{n}{l} \binom{m}{l} l! (-1)^l x^{n - l} y^{m - l}]
Hn,m(x, y) 在物理上可解释为受迫谐振子驱动的福克态的跃迁振幅，或者二维复分数傅里叶变换的本征模。它还是分析二次折射率介质中的塔尔博特效应、量子纠缠和巴尔格曼变换的有用工具。此外，单变量和双变量厄米多项式可用于推导新的渐近公式和玻色算符排序积，以及制备新的非高斯量子态，这些量子态是实现量子计量、通信和计算的关键量子信息纠缠资源。到目前为止，已经相继构造了几种变形的厄米多项式，如退化、全纯和 q - 变形厄米多项式，并在数学和物理的许多领域得到广泛应用。

2.3 厄米多项式应用流程

graph LR
    A[定义厄米多项式] --> B[利用其性质和恒等式]
    B --> C[解决物理问题]
    C --> D[推导公式和制备量子态]
    D --> E[应用于量子领域]

3. 涉及厄米多项式的广义二项定理

3.1 普通二项定理

普通二项定理是一个基本的代数定理，在数学和物理中广泛应用。它将多项式 (x + y)^n 展开为包含 x^k y^(n - k) 项的和：
[(x + y)^n = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} x^k y^{n - k}]
其中，(\binom{n}{k}) 是二项式系数，表示从 n 个对象中不重复地选择 k 个对象的方式数。该定理可用于推导多角恒等式、某些幂函数的导数以及负二项分布的概率质量函数，并且当 x 和 y 为复数时，定理同样成立。

3.2 扩展二项定理的必要性

在处理坐标算符 (Q_n = \frac{(a + a^{\dagger})^n}{\sqrt{2^n}}) 的幂级数展开时，普通二项定理不再适用。这里 a 和 a^{\dagger} 是玻色湮灭和产生算符，满足 ([a, a^{\dagger}] = 1)。此时有：
[Q_n = \frac{(a + a^{\dagger})^n}{\sqrt{2^n}} \neq \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} a^k a^{\dagger n - k}]

3.3 算符 Qn 的展开

利用坐标本征态 |q⟩ 的完备性关系 (\int_{-\infty}^{\infty} dq |q⟩⟨q| = 1) 和 IWOP 方法，算符 Qn 可展开为：
[Q_n = \int_{-\infty}^{\infty} dq q^n |q⟩⟨q| = \int_{-\infty}^{\infty} dq \frac{1}{\sqrt{\pi}} q^n : e^{-(q - Q)^2} : = (-i/2)^n : H_n (iQ) :]
此式也可通过另一种方法证明。利用格劳伯公式 (e^{\lambda Q} = e^{\lambda (a^{\dagger} + a) / \sqrt{2}} = e^{\frac{\lambda}{\sqrt{2}} a^{\dagger}} e^{\frac{\lambda}{\sqrt{2}} a} e^{\frac{1}{4} \lambda^2} =: e^{\frac{\lambda}{\sqrt{2}} a^{\dagger} + \frac{\lambda}{\sqrt{2}} a + \frac{1}{4} \lambda^2} :)，再结合单变量厄米多项式的生成函数，可得到相同结果。

3.4 广义二项公式

3.4.1 涉及 Hm−l,l(x, y) 的广义二项定理

将厄米多项式 Hm−l,l(x, y) 插入普通二项展开式中，得到新的广义二项公式：
[\sum_{l = 0}^{m} \binom{m}{l} \tau^{m - l} q^l H_{m - l,l}(x, y)]
通过一系列推导，可得到：
[\sum_{l = 0}^{m} \binom{m}{l} f^l g^{m - l} H_{m - l,l}(x, y) = (\sqrt{fg})^m H_m \left(\frac{gx + fy}{2\sqrt{fg}}\right)]
特别地，当 f = 1 且 g = 1 时，有：
[\sum_{l = 0}^{m} \binom{m}{l} H_{m - l,l}(x, y) = H_m \left(\frac{x + y}{2}\right)]

3.4.2 涉及 Hm−l,n−k(x, y) 的广义二项定理

对于 (\sum_{l = 0}^{m} \binom{m}{l} \tau^{m - l} q^l \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} \sigma^{n - k} p^k H_{m - l,n - k}(x, y))，经过推导可得：
[\sum_{l = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} \binom{m}{l} \binom{n}{k} f^l g^k H_{m - l,n - k}(x, y) = H_{m,n} (f + x, g + y)]
特别地，当 f = g = 1 时，有：
[\sum_{l = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} \binom{m}{l} \binom{n}{k} H_{m - l,n - k}(x, y) = H_{m,n} (1 + x, 1 + y)]

3.4.3 涉及 Hl,k (μ, ν)Hm−l,n−k(x, y) 的广义二项定理

对于 (\sum_{l = 0}^{m} \binom{m}{l} \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^l g^k H_{l,k} (\mu, \nu) H_{m - l,n - k}(x, y))，推导结果为：
[\sum_{l = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} \binom{m}{l} \binom{n}{k} f^l g^k H_{l,k} (\mu, \nu) H_{m - l,n - k}(x, y) = (1 + fg)^{\frac{m + n}{2}} H_{m,n} \left(\frac{f\mu + x}{\sqrt{1 + fg}}, \frac{g\nu + y}{\sqrt{1 + fg}}\right)]
特别地，当 f = g = 1 时，有：
[\sum_{l = 0}^{m} \sum_{k = 0}^{n} \binom{m}{l} \binom{n}{k} H_{l,k} (\mu, \nu) H_{m - l,n - k}(x, y) = \sqrt{2^{m + n}} H_{m,n} \left(\frac{\mu + x}{\sqrt{2}}, \frac{\nu + y}{\sqrt{2}}\right)]

3.5 广义二项定理推导流程

graph LR
    A[普通二项定理] --> B[扩展到算符情况]
    B --> C[推导算符展开式]
    C --> D[插入厄米多项式]
    D --> E[得到广义二项公式]
    E --> F[特殊情况化简]

4. 广义二项定理在量子光学中的应用

4.1 多光子减法压缩态的变换

最新的广义二项定理可将多光子减法压缩态 (|sub\rangle = a^m b^n e^{s a^{\dagger} b^{\dagger} + r a^{\dagger} + t b^{\dagger}} |00\rangle) 转换为压缩态上的双变量厄米多项式激发态。具体步骤如下：
1. 利用贝克 - 豪斯多夫公式将算符 (a^m b^n e^{s a^{\dagger} b^{\dagger} + r a^{\dagger} + t b^{\dagger}}) 表示为 (e^{s a^{\dagger} b^{\dagger} + r a^{\dagger} + t b^{\dagger}} (a + s b^{\dagger} + r)^m (b + s a^{\dagger} + t)^n)。
2. 由于 (a + s b^{\dagger}) 和 (b + s a^{\dagger}) 可交换，将指数算符 (e^{\tau (a + s b^{\dagger}) + \upsilon (b + s a^{\dagger})}) 展开为 (\sum_{m,n = 0}^{\infty} \frac{\tau^m \upsilon^n}{m! n!} (a + s b^{\dagger})^m (b + s a^{\dagger})^n)。
3. 结合双变量厄米多项式的生成函数，得到 ((a + s b^{\dagger})^m (b + s a^{\dagger})^n = (is)^{\frac{m + n}{2}} : H_{m,n} \left(\frac{a + s b^{\dagger}}{\sqrt{is}}, \frac{b + s a^{\dagger}}{\sqrt{is}}\right) :)。
4. 最终将 (|sub\rangle) 重写为 ((is)^{\frac{m + n}{2}} H_{m,n} \left(\frac{r + s b^{\dagger}}{\sqrt{is}}, \frac{t + s a^{\dagger}}{\sqrt{is}}\right) e^{s a^{\dagger} b^{\dagger} + r a^{\dagger} + t b^{\dagger}} |00\rangle)。

这表明 (|sub\rangle) 是在高斯压缩态 (e^{s a^{\dagger} b^{\dagger} + r a^{\dagger} + t b^{\dagger}} |00\rangle) 上作用算符厄米多项式 (H_{m,n} \left(\frac{r + s b^{\dagger}}{\sqrt{is}}, \frac{t + s a^{\dagger}}{\sqrt{is}}\right)) 后的新非高斯纠缠态，该算符是一种双模非高斯操作。同时，可得到 (|sub\rangle) 的密度算符的正规序乘积为 (|sub\rangle\langle sub| = s^{m + n} : H_{m,n} \left(\frac{r + s b^{\dagger}}{\sqrt{is}}, \frac{t + s a^{\dagger}}{\sqrt{is}}\right) e^{s a^{\dagger} b^{\dagger} + r a^{\dagger} + t b^{\dagger}} H_{m,n} \left(\frac{r + s b}{\sqrt{-is}}, \frac{t + s a}{\sqrt{-is}}\right) e^{-a^{\dagger} a - b^{\dagger} b} e^{s a b + r a + t b} :)，这为计算 (|sub\rangle) 的归一化系数、EPR 关联和量子隐形传态提供了便利。

4.2 原子相干态的维格纳分布函数

利用广义二项定理（7.27）和（7.40）可得到原子相干态 (| \tau \rangle) 的维格纳分布函数及其边缘分布。
1. 归一化的原子相干态 (| \tau \rangle = D \sum_{n = 0}^{2j} \binom{2j}{n}^{\frac{1}{2}} \tau^n |2j - n, n\rangle)，其中 (D = (1 + |\tau|^2)^{-j}) 是归一化系数。
2. 通过一系列计算，得到 (| \tau \rangle) 的维格纳分布函数 (W(\sigma, \gamma) = tr[\Pi(\sigma, \gamma) | \tau \rangle\langle \tau |]) 的表达式，经过积分和高阶微分运算后，可化简为 (W(\sigma, \gamma) = D^2 e^{-|\sigma|^2 - |\gamma|^2} \frac{(2j)!}{2j} \sum_{m,n = 0}^{2j} \binom{2j}{m} \binom{2j}{n} (-1)^{m + n} \tau^{ m} \tau^n H_{2j - m,2j - n} (\sigma + \gamma, \sigma^{ } + \gamma^{ }) H_{m,n} (\sigma^{ } - \gamma^{ }, \sigma - \gamma))。
3. 根据新的二项定理，将其进一步化简为 (W(\sigma, \gamma) = e^{-|\gamma|^2 - |\sigma|^2} \frac{1}{\pi^2 (2j)!} H_{2j,2j}(\vartheta, \vartheta^{ }))，其中 (\vartheta = \frac{(\sigma + \gamma) - \tau^{ } (\sigma^{ } - \gamma^{ })}{1 + |\tau|^2})。
4. 利用厄米多项式 (H_{m,n}(\lambda, \lambda^{ })) 与拉盖尔多项式 (L_l^p(r^2)) 的关系，最终得到 (W(\sigma, \gamma) = (-1)^{2j} e^{-|\gamma|^2 - |\sigma|^2} \frac{1}{\pi^2} L_{2j}(|\vartheta|^2))，这表明 (| \tau \rangle) 的维格纳分布函数仅与拉盖尔多项式 (L_{2j}(|\vartheta|^2)) 有关，且 (| \tau \rangle) 可能表现出明显的非高斯特征。
5. 利用相关公式，可得到 (W(\sigma, \gamma)) 在 (\gamma) 方向的边缘分布为 (\int d^2 \sigma W(\sigma, \gamma) = D^2 |\tau|^{2j} e^{-|\gamma|^2} \frac{1}{\pi (2j)!} \left|H_{2j} \left(\frac{\gamma^{*} - \tau \gamma}{2\sqrt{-\tau}}\right)\right|^2)。

4.3 原子相干态维格纳分布计算流程

graph LR
    A[定义原子相干态] --> B[计算内积<η|τ>]
    B --> C[计算维格纳分布函数表达式]
    C --> D[积分和微分运算]
    D --> E[利用二项定理化简]
    E --> F[结合多项式关系得到最终结果]
    F --> G[计算边缘分布]

5. 总结

本文围绕开放系统中量子态的演化与退相干、厄米多项式及其应用、涉及厄米多项式的广义二项定理以及这些定理在量子光学中的应用展开了详细的阐述。

5.1 主要内容总结

• 开放系统中量子态的演化伴随着复杂的量子干涉和部分负性，其退相干特性与参数密切相关。
• 厄米多项式具有多种形式和重要性质，在物理和量子领域有广泛应用。
• 广义二项定理是普通二项定理的扩展，可用于处理算符展开和插入厄米多项式的情况，得到了多种广义二项公式。
• 广义二项定理在量子光学中可用于多光子减法压缩态的变换和原子相干态的维格纳分布函数计算，为量子信息处理提供了有力工具。

5.2 应用意义

这些研究成果有助于深入理解量子系统的行为，为量子计量、通信和计算等领域的发展提供了理论支持。通过对量子态的精确描述和处理，有望实现更高效的量子信息任务，如量子隐形传态和量子密钥分发等。

5.3 未来展望

未来的研究可以进一步探索广义二项定理在更复杂量子系统中的应用，以及如何利用这些定理开发新的量子信息处理技术。同时，对于量子态的退相干机制和非高斯特性的研究也有待深入，以更好地实现量子系统的稳定和可控。

总结内容对比表格

研究内容	主要成果	应用领域
量子态演化与退相干	明确参数对量子态部分负性和干涉的影响	量子系统稳定性研究
厄米多项式	定义多种形式并阐述其物理意义	量子物理问题解决
广义二项定理	推导多种广义二项公式	算符展开和量子态变换
广义二项定理应用	多光子减法压缩态变换和维格纳分布计算	量子信息处理