8、量子系统中的费米子主方程求解与位移热态生成

量子系统中的费米子主方程求解与位移热态生成

1. 光子数分布与维格纳分布函数的关系

在量子系统中，光子数分布与维格纳分布函数之间存在着紧密的联系。对于状态 $\rho(t)$，其光子数分布 $p(s, t)$ 与维格纳分布函数 $W(\alpha, \alpha^ , t)$ 有如下关系：
[W|s\rangle\langle s|(\alpha, \alpha^ ) = \frac{(-1)^s}{\pi} e^{-2|\alpha|^2}L_s(4 |\alpha|^2)]
进而可得：
[p(s, t) = 4 \int d^2\alpha (-1)^s e^{-2|\alpha|^2}L_s(4 |\alpha|^2)W(\alpha, \alpha^ , t)]
通过将相关方程代入并完成积分，可得到扩散非简谐振子的 $\rho(t)$ 光子数分布的演化：
[p(s, t) = \sum_{m,n=0}^{\infty} \frac{4(-1)^{(3m + n)/2}s!}{m!n!(s - m)!} \frac{\Delta_{m + n + 1}^z(m, n)\Delta_{(2s - n - m)}^+(m, n)}{[\Delta_-(m, n) + 1]^{m + n + 2}} \times \exp[i\kappa t(m - n) + \kappa(2\bar{n} + 1)t] \int d^2\beta \exp\left(\frac{2\Delta_-(m, n) - 1}{\Delta_-(m, n) + 1}|\beta|^2\right) \times H_{m,n}\left(\frac{2\bet