7、密度算符主方程的解

密度算符主方程的解

在量子物理领域，密度算符主方程的求解对于理解量子系统的演化至关重要。本文将深入探讨几种不同场景下密度算符主方程的解，包括单模腔、阻尼谐振子、扩散非简谐振子等系统。

1. 单模腔受振荡外场驱动在热库中的主方程

当单模腔受振荡外场驱动且处于热库中时，系统的哈密顿量为：
[H = \hbar\omega_ca^{\dagger}a - \hbar\lambda(a^{\dagger}e^{-i\omega_lt} - ae^{i\omega_lt})]
其中，(a^{\dagger})和(a)分别是单模腔场的产生和湮灭算符，(\omega_c)是腔场的自然频率，(\omega_l)是外场的主频率，(\lambda)是外场的强度。

当系统与热库相互作用时，密度算符的演化遵循量子主方程：
[\frac{d\rho(t)}{dt} = \frac{1}{i\hbar}[H, \rho(t)] + \kappa(\bar{n} + 1)[2a\rho(t)a^{\dagger} - a^{\dagger}a\rho(t) - \rho(t)a^{\dagger}a] + \kappa\bar{n}[2a^{\dagger}\rho(t)a - aa^{\dagger}\rho(t) - \rho(t)aa^{\dagger}]]
其中，(\kappa)是耗散系数，(\bar{n})是热库的平均热光子数。

为了消除指数项(e^{\pm i\omega_lt})，我们使用幺正算符(U(t) = \exp(-i\omega_la^{\dagger}at))对哈密顿量进行变换，得到：
[H_R = U^{\dag