4、量子系统中的动力学与纠缠态研究

量子系统中的动力学与纠缠态研究

1. 两体哈密顿系统动力学

1.1 非简并参量放大器的拉格朗日函数与欧拉 - 拉格朗日方程

考虑两体哈密顿系统，其哈密顿量为：
[H = \omega (a^{\dagger}a + b^{\dagger}b) + g(ab + a^{\dagger}b^{\dagger})]
通过比较相关方程，可得(\omega_1 = \omega_2 = \omega)且(f = k = 0)，非简并参量放大器的拉格朗日函数为：
[L = \omega - \frac{1}{2} (\omega + g) \varsigma (t) \varsigma (t)^ - \frac{1}{2} (g - \omega) \dot{\varsigma} (t) \dot{\varsigma} (t)^ ]
经典的欧拉 - 拉格朗日方程为：
[\ddot{\varsigma}^ (t) - (\omega^2 - g^2) \varsigma^ (t) = 0]
[\ddot{\varsigma} (t) - (\omega^2 - g^2) \varsigma (t) = 0]

1.2 海森堡方程验证

为验证上述方法的正确性，使用海森堡方程和相关方程得到恒等式（(\hbar = 1)）：
[i \frac{d}{dt} (a^{\dagger} + b) = [a^{\dagger} + b, H] = (g - \omega) (a^{\dagger} - b)]
[\frac{d^2}{dt^2} (a^{\d