HDU 2121 Ice_cream's world II 朱刘算法求无固定根最小树形图

题目链接：HDU 2121

题意：找出一个总权值最小的最小树形图，并输出其根结点编号。

分析：

①构造无固定根的最小树形图

        题目要求找出最小树形图中总权值最少的一个图，而对给出的每个点使用朱刘算法来求固定根的最小树形图的做法的算法复杂度为O(V^2*E)，显然会超时。因此可使用通过虚拟根构造最小树形图的做法，构造出一个虚拟的结点，作为固定根，将该虚拟根结点与给出的每个结点的用权值为r的虚拟边连接，并在最后除去虚拟根，即所求得的最小树形图的总权值减去r便是原图中总权值最小的最小树形图的总权值了。

        由于虚拟根的存在有可能使得最后除去虚拟根后的图不是连通图，即虚拟根构造的最小树形图中，虚拟根连接着多个子结点，这表明原图是不连通的，这时可判定最小树形图不存在。我们可令r的值在总权值不会溢出的前提下尽量大，这样在最后判定虚拟根是否把非连通图连接成连通图时，可通过判定w的值是否大于2 * r来判定，若大于2 * r，则虚拟根连接了至少两条虚拟边，则最小树形图不存在。

②找出所求得的最小树形图的根

        由于在跑朱刘算法的过程中，结点的ID会发生改变，边的出边u, 入边v顶点号也会随之改变，则不能直接通过边的出、入顶点寻找虚拟根连接的结点。因此可在每次构图过程中记录虚拟根的出边的Edge边下标Rt，最后通过寻址方式，得到该边的原v值，从而找到最小树形图的根。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int N = 1111;
const int M = 22222;
const int inf = 0x7fffffff;
int pre[N], ID[N], vis[N], In[N], tot, Rt;

struct Edge
{
    int u, v, cost;
} E[M];

void addedge(int a, int b, int c) { E[tot].u = a, E[tot].v = b, E[tot++].cost = c; }

int Directed_MST(int root, int NV, int NE)
{
    int ret = 0;
    while(true) {
        // 1.找最小入边
        for(int i = 0; i < NV; i++) In[i] = inf;
        for(int i = 0; i < NE; i++) {
            int u = E[i].u;
            int v = E[i].v;
            if(E[i].cost < In[v] && u != v) {
                pre[v] = u;
                In[v] = E[i].cost;
                if(root == u) Rt = i;
            }
        }
        for(int i = 0; i < NV; i++) {
            if(i == root) continue;
            if(In[i] == inf) return -1; // 除了跟以外有点没有入边,则根无法到达它
        }
        // 2.找环
        int cntnode = 0;
        memset(ID, -1, sizeof(ID));
        memset(vis, -1, sizeof(vis));
        In[root] = 0;
        for(int i = 0; i < NV; i++) { // 标记每个环
            ret += In[i];
            int v = i;
            while(vis[v] != i && ID[v] == -1 && v != root) {
                vis[v] = i;
                v = pre[v];
            }
            if(v != root && ID[v] == -1) {
                for(int u = pre[v] ; u != v ; u = pre[u]) {
                    ID[u] = cntnode;
                }
                ID[v] = cntnode++;
            }
        }
        if(cntnode == 0) break; // 无环
        for(int i = 0; i < NV; i++) {
            if(ID[i] == -1) ID[i] = cntnode++;
        }
        // 3.缩点,重新标记
        for(int i = 0; i < NE; i++) {
            int v = E[i].v;
            E[i].u = ID[E[i].u];
            E[i].v = ID[E[i].v];
            if(E[i].u != E[i].v) {
                E[i].cost -= In[v];
            }
        }
        NV = cntnode;
        root = ID[root];
	}
	return ret;
}

int main()
{
    // freopen("in", "r", stdin);
    int a, b, c, n, m;
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        tot = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++) {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            addedge(a, b, c);
        }
        int r = 111111111;
        for(int i = 0; i < n; i++) addedge(n, i, r);
        int as = Directed_MST(n, n + 1, m + n);
        if(~as && as - r < r) printf("%d %d\n", as - r, Rt - m);
        else puts("impossible");
        puts("");
    }
    return 0;
}