5、循环信念传播、平均场理论与贝特近似

循环信念传播、平均场理论与贝特近似

在概率图模型中，估计概率分布的边缘概率和最大后验（MAP）估计是重要的任务。本文将介绍几种近似方法，包括平均场理论（MFT）、变分方法和信念传播，这些方法通常通过最小化伪边缘概率的自由能函数来解决问题。

1. 两种模型

在计算机视觉中，有两种重要的概率视觉模型常被用于后续算法的设计。
- 马尔可夫随机场（MRF）模型
- 图像标注应用 ：输入 ( z = {z_i : i \in D} ) 是图像格点 ( D ) 上的强度值 ( z_i \in {0, 255} )，输出 ( x = {x_i : i \in D} ) 是图像标签 ( x_i \in L )。标签的性质取决于具体问题，例如边缘检测中 ( |L| = 2 )，标签对应“边缘”和“非边缘”；标注 MSRC 数据集时 ( |L| = 23 )，标签包括“天空”“草地”等。
- 双目立体视觉应用 ：输入是左右相机的图像 ( z = (z_L, z_R) )，输出是视差集合 ( x )，用于确定图像中对应像素的相对位移，从而计算深度。
- 该模型的后验概率分布 ( P(x | z) ) 是一个条件随机场，定义在图 ( G = (V, E) ) 上，其中节点集 ( V ) 是图像像素集 ( D )，边 ( E ) 连接相邻像素。能量函数 ( E(x, z) ) 包含一元势 ( U(x, z) = \sum_{i \in V} \varphi(x_i, z) ) 和二元势 ( V (x, x) = \sum_{ij \in E} \psi_{ij}(x_i,