数理逻辑4 -- 公理化集合论18

上节构造了类$H$，以下命题给出了正则公理的等价形式。

命题4.45：正则公理等价于$V = H$。

证明：
a. 假设$V = H$。考虑$X \neq \emptyset$，令$\alpha$为$X$中成员的排位的最小序数，令$b$满足$\alpha = \rho'b$。那么，$b \cap X = \emptyset$。否则的话，若$u \in b \cap X$，由引理4.17.1g，$\rho'u <_{\circ} \rho'b$，与$\alpha$的最小性产生矛盾。

b. 假设正则公理Reg。假设$V \neq H$，那么$V - H \neq \emptyset$。根据Reg，存在$y \in V-H$，使得$y \cap V -H = \emptyset$。因此，若$u \in y$，则$u \notin V -H$，所以$u \in H$（注意，显然$H \subseteq V$，因为$H$的成员肯定是集合，记得$M(X)$是$(\exists Y)(X \in Y)$的缩写）。既然$u \in y \Rightarrow u \in H$，所以$y \subseteq H$。根据引理4.17.1h，可得$y \in H$，与$y \in V -H$产生矛盾。$\square$

命题4.45很厉害，它等于在说，增加了正则公理之后，所有的集合都是$H$的成员，也就是任意一个集合，都可由$\Psi$函数构造而成，也即由空集、幂集、并集操作得出。

大神们已经证明，选择公理AC独立于NBG+(Reg)，也即你用NBG+(Reg)既证不出AC，也证不出$\neg$AC。哥德尔弄完他的不完备定理之后，花了几年时间在搞康托尔的连续统假设，之后二战爆发他去了美国，跟爱因斯坦成了好基友，短暂搞了一下相对论，之后就彻底转向哲学。王浩说，哥德尔的根本志向在于搞哲学，数学和物理只是他研究哲学的手段和工具，当哥德尔发现数学之路无法通向哲学的时候，他就放弃了搞数学的兴趣。

哥德尔证明了NBG+(Reg)+(AC)无法证伪连续统假设。康托尔已经证明了整数集的势小于实数集的势，他的连续统假设是说，没有集合的势介于整数与实数。哥德尔研究了一个更强的连续统假设版本，称为“一般性连续统假设”，英文是General Continuum Hypothesis，简写为GCH，

$$(\forall x)(Inf(x) \Rightarrow \neg (\exists y)(x \preceq y \land y \preceq \mathcal{P}(x)) )$$
，也就是，对于任意无限集$x$，没有集合的势介于$x$和P(x)