数理逻辑3 -- 形式数论7

玩的越来越难，越来越抽象了。

在自然数系统中，我们经常会考察一些n元关系和函数，比如$x < y$就是二元关系，$x + y = z$是三元关系，$3+5 = 8$是二元函数$f(3, 5)=8$。这些个n元关系和函数是自然数系统的性质，与形式逻辑系统无关。那么，我们现在关心的是这些个n元关系和函数如何能在形式逻辑系统中“表达”出来呢？

为了严格讨论“关系、函数如何在形式逻辑中表达”，我们先定义何为关系和函数。

定义：（自然数系统的关系与函数）

1. n元关系：以n个自然数为参数的关系，一般写作$R(k_1, k_2, ..., k_n)$，其中$k_1, k_2, ..., k_n$是自然数。
2. n元函数：以n个自然数为自变量的函数，值域是自然数的集合，一般写作$f(k_1, k_2, ..., k_n) = m$，其中$k_1, k_2, ..., k_n, m$是自然数。

关系与函数在形式逻辑中的处理是分开的，下面两个定义给出了它们的“关联”。

定义：（关系的可表达性，expressible）K是任意一个一阶代数语言的理论（即是说，以我们前面定义的一阶语言为出发，包含至少逻辑公理的理论），我们说，n个参数的关系R在K中可表达（expressible），当且仅当，存在一个K中的好式子$B(x_1, x_2, ..., x_n)$，其中$x_1, x_2, ..., x_n$是自由变量，满足：对于任意自然数$k_1, k_2, ..., k_n$，都有：a) 若$R(k_1, k_2, ..., k_n)$为真，则$\vdash_K B(\bar{k_1}, \bar{k_2}, ..., \bar{k_n})$； 2) 若$R(k_1, k_2, ..., k_n)$为假，则$\vdash_K \neg B(\bar{k_1}, \bar{k_2}, ..., \bar{k_n})$。

不要被上述定义吓到了，直观理解即可。接下来的函数表达性更难更关键。

定义：（函数的可表达性，representable）： K是任意一个一阶代数语言的含等式理论，我们说，n个参数的函数f在K中可表达（representable），当且仅当，存在一个好式子$B(x_1, x_2, ..., x_n, y)$，其中$x_1, x_2, ..., x_n, y$是自由变量，满足：对于任意自然数$k_1, k_2, ..., k_n, m$，都有：

1. 若$f(k_1, k_2, ..., k_n) = m$，则$\vdash_K B(\bar{k_1}, ..., \bar{k_n}, \bar{m})$
2. $\vdash_K (\exists_1 y)$