矩形的面积为什么是长乘以宽

首先，一个矩形，最容易测量的物理量就是长宽即x,y，所以面积会定义为一个与长宽有关的函数

S = f(x, y)

几个公理：
1、全等的图形面积应该相同，而长宽相同的矩形，是全等的
所以有f(x,y) = f(y,x)

2、面积恒正
而x和y都是大于0的数
所以f(x,y) 不会出现形如 x - y的定义

3、面积具有可加性，把两个宽相同的矩形拼在一起，可以得到一个新的矩形，长为两者之和
f(x1+x2,y) = f(x1,y) + f(x2,y)

从3可以进一步得出：

• f关于x或者y单调递增
• 对于任意有理数a，有 f(ax,y) = af(x,y)

因此有 f(x,y)=xf(1,y)
进一步有f(x,y) = xyf(1,1)

这明确了，面积S必须是长宽xy的倍数，为了直观，取f(1,1) = 1
规定为其他的值也不会影响根本性质。因此f(x,y) = xy。