放苹果

放苹果
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Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里,允许有的盘子空着不放,问共有多少种不同的分法?(用K表示)5,1,1和1,5,1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t(0 <= t <= 20)。以下每行均包含二个整数M和N,以空格分开。1<=M,N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N,用一行输出相应的K。

Sample Input

1
7 3

Sample Output

8

 

<pre name="code" class="java">import java.util.Scanner;  
  
public class Main {  
      
    public static int Test(int m, int n) {  
        if (m == 0 || n == 1) {  
            return 1;   
        }  
        if (n > m) {  
            return Test(m, m);  
        } else {  
            return Test(m, n - 1) + Test(m - n, n);  
        }  
    }  
  
    public static void main(String[] args) {  
        Scanner cin = new Scanner(System.in);  
        int i = cin.nextInt();  
        for (int j = 0; j < i; j++) {  
            int m = cin.nextInt();  
            int n = cin.nextInt();  
            System.out.println(Test(m, n));  
        }  
        cin.close();  
    }  
}  

 

1206苹果”可能指的是一类经典的组合数学问题——将一定数量的苹果到若干个盘子里的问题。以下以“把 \(m\) 个相同的苹果到 \(n\) 个相同的盘子里,允许有的盘子为空,问有多少种不同的法”为例进行分析。 ### 问题分析 设 \(f(m,n)\) 表示把 \(m\)苹果到 \(n\) 个盘子里的法数。可以分情况讨论: - 当 \(m = 0\) 时,即没有苹果,只有一种法,也就是所有盘子都为空,所以 \(f(0,n)=1\)。 - 当 \(n = 1\) 时,只有一个盘子,无论有多少个苹果,也只有一种法,即把所有苹果在这一个盘子里,所以 \(f(m,1)=1\)。 - 当 \(m < n\) 时,因为盘子数比苹果数多,多出来的盘子不会影响法的种类,所以 \(f(m,n)=f(m,m)\)。 - 当 \(m\geq n\) 时,又可以分为两种情况: - 至少有一个盘子为空,那么法数就等于把 \(m\)苹果到 \(n - 1\) 个盘子里的法数,即 \(f(m,n - 1)\)。 - 所有盘子都不为空,那么可以先在每个盘子里都一个苹果,此时还剩下 \(m - n\)苹果法数就等于把 \(m - n\)苹果到 \(n\) 个盘子里的法数,即 \(f(m - n,n)\)。所以 \(f(m,n)=f(m,n - 1)+f(m - n,n)\)。 ### 代码实现(Python) ```python def put_apples(m, n): if m == 0 or n == 1: return 1 if m < n: return put_apples(m, m) else: return put_apples(m, n - 1)+put_apples(m - n, n) # 示例,假设 12 个苹果到 6 个盘子里 m = 12 n = 6 result = put_apples(m, n) print(f"把 {m} 个苹果到 {n} 个盘子里的法有 {result} 种。") ``` ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:由于使用了递归的方法,时间复杂度较高,为指数级 \(O(2^{m + n})\)。 - **空间复杂度**:递归调用栈的深度为 \(O(m + n)\),所以空间复杂度为 \(O(m + n)\)
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