线性代数(3)名词概念梳理

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#QR分解 #线性代数 #概念梳理 #名词 #SVD分解

本文深入浅出地讲解线性代数中的QR分解和奇异值分解(SVD)。从2×2矩阵的QR分解实例出发，解释QR分解的过程，并指出其在矩阵运算中的应用。同时，提到了SVD在机器学习等多个领域的广泛用途，为后续详细阐述奠定了基础。

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线性代数名词概念梳理

线性代数常常见的P矩阵(Permutation)（交换矩阵又叫做置换矩阵）。P矩阵是单位矩阵交换行所成，所以P的每列都是正交，所以它是正交矩阵，所以 P T = P − 1 P^T=P^{-1} PT=

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线性代数在计算机视觉的应用,线性代数在数据科学中的十大强大应用（二）
weixin_34702885的博客
06-16 1552
本篇为机器学习与数据科学背后的线性代数知识系列的第二篇，本篇主要介绍自然语言处理(NLP)中的线性代数与计算机视觉(CV)中的线性代数。涵盖主成分分析(PCA)与奇异值分解(SVD)背后的线性代数知识。相信这也是各位数据科学爱好者常用的各项技术，希望可以帮大家理清思路和对这些算法有更进一步的认识。系列目录：为什么学习线性代数机器学习中的线性代数损失函数正则化协方差矩阵支持向量机分类器降维中的线性代...
构造投影矩阵/裁剪矩阵
baozi3026的专栏
02-23 3991
矩阵变化一般包含三部分，即wvp。此篇文章致力于讲解P矩阵即投影裁剪矩阵构造过程中的一些原理。 在讲解开始前，先了解一点。投影矩阵的作用是讲视锥体里的物体保存下来，最终与视口相对应。过程大致为三步骤。第一，将视锥体进行投影处理，使之成为所谓的平行管道观察体，可以理解为将视锥体转换为一个长方体；第二，将得到的视锥体变为一个立方体，这个立方体三条边最大不超过正负1。第三部就是将这个立方体中的内容与视
QR分解：游戏开发中的“万能整理师”
欢迎来到《技术探索》，这是一个专注于游戏开发技术的博客。在这里，我们将深入探讨游戏引擎、图形渲染、人工智能、物理模拟等领域的最新技术和最佳实践。无论您是初学者还是经验丰富的开发者，我们都希望为您提供有价值的见解和实用的技巧。
05-18 554
QR分解是一种将矩阵A分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的方法，形象比喻为整理书架或搭帐篷，将杂乱无章的向量整理成互相垂直、标准化的形式。在游戏开发中，QR分解广泛应用于最小二乘拟合、摄像机正交化和复杂物理求解。例如，在角色动作捕捉中，QR分解能高效稳定地处理噪声数据，使动作更平滑；在摄像机控制中，它能防止方向向量歪斜，避免画面畸变；在物理仿真中，它能稳定求解约束系统，提升布料、刚体等效果的真实性。总之，QR分解在游戏开发中扮演着“万能整理师”的角色，确保数据、方向和约束的整齐、稳定与高效，从而提升游戏体验的流
线性代数学习笔记之矩阵
知识追寻者
11-28 6168
矩阵基础知识
深度学习之线性代数
weixin_45928316的博客
11-23 384
定义：每一行每一列只有一个元素为1，其余元素全为0。2、所有行都是单位长度向量，每一行点乘自己都是1。1、所有行都是相互正交。c = α * b (α为标量)置换矩阵(置换矩阵也是正交矩阵)C = α *B(α是标量)向量1 * 矩阵A =（空间扭曲）= 向量2。常用Frobenius范数。对称矩阵和反对称矩阵。
关于正交矩阵的二三事
WZX_Hello的博客
08-21 3317
一些关于正交矩阵的知识点（笔记）
18.06MIT线性代数(1)——线性代数理解
@司南牧|知乎|博客|易懂教程|李韬
06-04 1789
线性代数有什么用？ 用于求解线性问题（即求解线性方程中的未知数）。如：化学方程式中的系数，杠杆平衡。怎么求解？答：用高斯消元法。什么是高斯消元法？高中教的解方程的那种方法就是消元法。任何计算机都是这么解方程的 图像就是矩阵。对图像进行处理就需要用到线性代数。如：可以使用矩阵卷积操作对图像进行模糊化。 求解物理问题。如位移，速度都是向量。 也可以把信号或者序列存入到向量，然后对向量进行操作。...
线性代数在数据科学中的十大强大应用（二）
TensorFlowNews
08-13 1595
系列目录： 为什么学习线性代数 机器学习中的线性代数 损失函数 正则化 协方差矩阵 支持向量机分类器 降维中的线性代数 主成分分析（PCA） 奇异值分解（SVD） 自然语言处理中的线性代数 词嵌入（Word Embeddings） 潜在...
P矩阵
fb_help的专栏
05-18 2190
P矩阵 //摄像机表示为： // P = KR [I | -C] //其中R和C表示摄像机方向和相对于世界坐标系的位置; // R表示为从世界到相机坐标的旋转 // C表示为世界坐标中的摄像机中心坐标 //（与标准形式不同，已经应用​​了摄像机的旋转P = K [R t]（t=-RC））; //世界和相机坐标系是右手， //x指向右，y指向下方，z指向前方 //（参见：R。Hartley，“多视图...
卡尔曼滤波公式的推导，learning
haode90的博客
11-10 2368
一、状态量的理解 做工程都是从问题入手找到对应解决的方案。那么我们用卡尔曼滤波的目的肯定是要求解一些变量。所以怎么求解这么变量呢？ 我们一般是要建立方程式来求解变量，因此就出现了状态方程，比如运动方程，。如果要求方程式中的位置s和对应的速度v，就将[s,v]作为状态量。注意两点，第一，就是需要求什么变量就用什么作为状态量；第二，状态量之间需要有关系，因为卡尔曼是一个推算的过程，如果没有关系，靠什么推算呢？有了方程，就开始解算方程式 二、两个过程的理解，也是卡尔曼的理论框...
P矩阵组成+QR分解.pptx
04-20
计算机视觉中的p矩阵组成以及QR分解内容
置换矩阵
weixin_30954265的博客
05-12 1715
来源：百度百科 定义： 设P 是一个 m×n 的 (0,1) 矩阵，如 m≤n且 PxPt=E，则称 P为一个 m×n的置换矩阵。其中Pt是P的转置矩阵，E是m阶单位方阵。 判定条件： 定理 1 当 m≦n时，一个 m×n 的(0,1) 矩阵P为置换矩阵的充要条件是P的每一行恰有一个 1，每一列恰有一个 1。 说明： 1.每个n元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。 2.置...
2.线性代数基础
weixin_47505105的博客
11-29 8393
笔记
什么是矩阵
盖子的博客
03-19 3万+
什么是矩阵 矩阵，在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 长这个样子： 失量也可以转为矩阵，可以看成nX1的行矩阵，或1Xn的矩阵。 矩阵列的运行比较复杂，下面就来一一探讨。 矩阵和标量的乘法 直接标量与各个分量相乘即可，不多废话了…同时kM=Mk即，谁在哪边都一样。 矩阵与矩阵的乘法 ...
相机矩阵(Camera Matrix)
热门推荐
风翼冰舟的博客
05-02 10万+
前言最近翻阅关于从2D视频或者图片中重构3D姿态的文章及其源码，发现都有关于摄像机参数的求解，查找了相关资料，做一下笔记。国际惯例，来一波参考网址透视变换、透镜畸变及校正模型、相机校正(Camera Calibration)、Matlab相机校正工具箱、【立体视觉（一）】由基本矩阵、本质矩阵恢复摄像机矩阵——Structure from motion、Multiple View Geometry i
矩阵变换PA=B理解
zhengyikuangge的博客
09-26 1万+
今天做到矩阵这边的题目时又想到了以前学习线代的时候纠结的一个小地方，关于满足PA=B然后求P，先拿个题举例 方法1：左行右列，PA=B的意思是A可以经过一系列行变换变为B P1变换是把第一行加到第二行，倍加初等矩阵；P2变换是把第二行乘2加到第三行，倍加初等矩阵。使用初等矩阵表示PA=B 即可得到P 方法2： 由PA=B,PE=P得A经过一系列变换变成B，E也可以通过相同的变换变为P 即...
置换矩阵（permutation matrix）
06-22 2万+
左行：一个矩阵或向量左乘一个 permutation matrix，交换的是该矩阵或向量的行； 右列：一个矩阵或向量右乘一个 permutation matrix，交换的是该矩阵或向量的列；
求教！卡尔曼滤波器Q和P矩阵初始怎么设置
swall0w的博客
03-25 1万+
请问在使用卡尔曼滤波器时，Q和P矩阵初始值如何确定？ 例如，我先生成小车的运动轨迹再用卡尔曼滤波器进行预测时。假设观测噪声为零均值、标准差为50m的高斯白噪声；加速度零均值、标准差为2米每秒方的高斯随机变量，那么我的观测噪声和测量噪声协方差矩阵应该如何设置呢？请教大家，谢谢啦 ...
线性代数名词
最新发布
07-26
### 常用线性代数名词与术语详解 线性代数是数学的一个分支，广泛应用于科学计算、工程、计算机科学以及数据科学等领域。以下是一些线性代数中常见的名词和术语，以及它们的定义和解释。 #### 1. 向量（Vector） 向量是具有大小和方向的量，通常表示为一组有序的数，这些数称为向量的分量。在数学中，向量可以看作是向量空间中的元素，通常用列向量或行向量的形式表示。 #### 2. 矩阵（Matrix） 矩阵是由数字组成的矩形阵列，通常用于表示线性变换或者方程组的系数。矩阵的大小由其行数和列数决定，记作 $ m \times n $，其中 $ m $ 表示行数，$ n $ 表示列数。 #### 3. 线性组合（Linear Combination） 给定一组向量 $ v_1, v_2, \dots, v_k $，它们的线性组合是指形如 $ a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_kv_k $ 的表达式，其中 $ a_1, a_2, \dots, a_k $ 是标量。 #### 4. 线性无关（Linear Independence） 一组向量 $ v_1, v_2, \dots, v_k $ 如果满足 $ a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_kv_k = 0 $ 只有在所有系数 $ a_1, a_2, \dots, a_k $ 都为零时才成立，则称这组向量是线性无关的。否则，称它们为线性相关。 #### 5. 基（Basis） 一个向量空间的基是一组线性无关的向量，并且这些向量可以生成整个向量空间。换句话说，基是向量空间的一个极大线性无关组。 #### 6. 维数（Dimension） 向量空间的维数是指其基中向量的数量。对于有限维向量空间来说，维数是一个有限的正整数。 #### 7. 范数（Norm） 范数是一个函数，用于度量向量或矩阵的大小或长度。常见的向量范数包括 $ L^1 $ 范数、$ L^2 $ 范数（欧几里得范数）和 $ L^\infty $ 范数。矩阵范数则用于度量矩阵的大小，常见的矩阵范数包括 Frobenius 范数和谱范数等。 #### 8. 特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors） 对于一个方阵 $ A $，如果存在一个非零向量 $ x $ 和一个标量 $ \lambda $，使得 $ Ax = \lambda x $，则称 $ \lambda $ 是矩阵 $ A $ 的特征值，$ x $ 是对应的特征向量。特征值可以通过求解特征方程 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 来得到，其中 $ I $ 是单位矩阵。 #### 9. 特征空间（Eigenspace） 对于给定的特征值 $ \lambda $，所有满足 $ (A - \lambda I)x = 0 $ 的向量 $ x $ 构成的空间称为该特征值的特征空间。 #### 10. 秩（Rank） 矩阵的秩是指其列向量组（或行向量组）中线性无关向量的最大个数。矩阵的秩也可以通过将矩阵化为行阶梯形矩阵后非零行的数量来确定。 #### 11. 零空间（Null Space） 矩阵 $ A $ 的零空间是指所有满足 $ Ax = 0 $ 的向量 $ x $ 构成的空间。 #### 12. 正交（Orthogonality） 两个向量 $ u $ 和 $ v $ 如果它们的内积为零，即 $ u \cdot v = 0 $，则称这两个向量是正交的。正交性在许多应用中非常重要，尤其是在正交分解和最小二乘法中。 #### 13. 正交基（Orthogonal Basis） 一个基如果其中的向量两两之间都是正交的，则称该基为正交基。如果正交基中的每个向量都是单位向量，则称其为标准正交基。 #### 14. 正交矩阵（Orthogonal Matrix） 一个方阵 $ Q $ 如果满足 $ Q^TQ = QQ^T = I $，其中 $ Q^T $ 是 $ Q $ 的转置，$ I $ 是单位矩阵，则称 $ Q $ 为正交矩阵。正交矩阵的一个重要性质是它的列向量构成一组标准正交基。 #### 15. 对角化（Diagonalization） 如果一个方阵 $ A $ 可以表示为 $ A = PDP^{-1} $，其中 $ D $ 是对角矩阵，$ P $ 是可逆矩阵，则称 $ A $ 可以被对角化。对角化的过程通常涉及到特征值和特征向量的计算。 #### 16. 内积（Inner Product） 内积是两个向量之间的运算，结果是一个标量。最常用的内积是欧几里得内积，定义为 $ u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n $，其中 $ u_i $ 和 $ v_i $ 分别是向量 $ u $ 和 $ v $ 的第 $ i $ 个分量。 #### 17. 外积（Outer Product） 外积是两个向量之间的运算，结果是一个矩阵。对于两个向量 $ u $ 和 $ v $，它们的外积定义为 $ uv^T $，其中 $ v^T $ 是 $ v $ 的转置。 #### 18. 逆矩阵（Inverse Matrix） 对于一个方阵 $ A $，如果存在另一个方阵 $ B $，使得 $ AB = BA = I $，其中 $ I $ 是单位矩阵，则称 $ B $ 是 $ A $ 的逆矩阵，记作 $ A^{-1} $。 #### 19. 转置矩阵（Transpose Matrix） 矩阵 $ A $ 的转置矩阵记作 $ A^T $，是将 $ A $ 中的行和列互换得到的矩阵。即 $ (A^T)_{ij} = A_{ji} $。 #### 20. 行列式（Determinant） 行列式是一个与方阵相关的标量值，记作 $ \det(A) $ 或 $ |A| $。行列式可以用来判断矩阵是否可逆，也可以用于求解线性方程组的解。 ### 示例代码：计算矩阵的特征值和特征向量 ```python import numpy as np # 定义一个方阵 A = np.array([[4, 2], [1, 3]]) # 计算特征值和特征向量 eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A) print("特征值:", eigenvalues) print("特征向量:\n", eigenvectors) ``` ### 示例解释 - `np.linalg.eig` 函数用于计算矩阵的特征值和特征向量。 - 特征值存储在 `eigenvalues` 中，特征向量存储在 `eigenvectors` 中。 - 输出结果中，特征值是数组形式，特征向量是以列向量的形式组成的矩阵。 ### 示例代码：计算矩阵的范数 ```python import numpy as np # 定义一个矩阵 A = np.array([[1, 2], [3, 4]]) # 计算矩阵的Frobenius范数 frobenius_norm = np.linalg.norm(A, 'fro') print("Frobenius范数:", frobenius_norm) # 计算矩阵的谱范数 spectral_norm = np.linalg.norm(A, 2) print("谱范数:", spectral_norm) ``` ### 示例解释 - `np.linalg.norm` 函数用于计算矩阵的范数。 - `'fro'` 参数表示计算 Frobenius 范数，`2` 参数表示计算谱范数。 - 输出结果中，Frobenius 范数和谱范数分别对应不同的矩阵范数。
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