算法设计与分析——分治术与递归（一）

一. 定义

• 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

• 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。

  分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

二. 具体问题分析

• 排列问题

问题描述：设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。

问题解决：设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。集合X中元素的全排列记为perm(X)。perm(X)(ri)表示在全排列perm(X)的每一个排列后加上后缀得到的排列。我们可以发现，R的全排列可以由以下的算法得到：依次将R中的一个元素换到最后的位置，并求出剩余元素的全排列。这样我们把一个大型复杂的问题层层转化为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，那么R的全排列可归纳定义如下 ：

当n=1时，perm(R)为它本身；
当n>1时，perm(R)由perm(R1)(r1)、perm(R2)(r2)。。。perm(Rn)(rn)组成。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector< vector<int> > res;

void perm(vector<int> num,int n)
{
    if(n==1)
    {
        res.push_back(num);
        return;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        swap(num[i],num[n-1]); //找出一个元素与最后的元素进行交换
        perm(num,n-1); //求取剩余元素的全排列
        swap(num[i],num[n-1]); //换回原来的位置
    }
}

int main(int argc, char** argv) {
    int a[]={1,2,3,4,5};
    vector<int> num(a,a+5);
    perm(num,5);
    cout<<res.size();
    return 0;
}

• 整数划分问题

问题描述：将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。

---

假设n=5，那么正整数5的划分包括：

• 5
• 4+1
• 3+2，3+1+1
• 2+2+1，2+1+1+1
• 1+1+1+1+1

---

问题解决：如果假设P(n)为正整数n的划分个数，那么P(n-1)为正整数n-1的划分个数，接下来我们要找出P(n)用P(n-1)之类来表示的递归关系，但这个递归关系难以找到。所以我们采用了一个技巧，Q(n,m)表示正整数n的划分个数，并且最大加数不大于m。我们可以发现：

当m=1时，Q(n,m)=1
当m>n时，Q(n,m)=Q(n,n)
当m=n时，Q(n,m)=1+Q(n,m-1)，即n包括自己的划分只有n本身一个。
否则，Q(n,m)=Q(n,m-1)+Q(n-m,m)

最后一个比较难一点，在这里解释一下：Q(n,m)代表正整数n的最大加数不大于m的划分个数，那么它包括正整数n的最大加数小于m的划分个数Q(n,m-1)和正整数n的最大加数等于m的划分个数Q(n-m,m)。那为什么后面那个是Q(n-m,m)呢？我们可以举个例子看一下：

---

假设n=3，那么正整数3的划分包括：

• 3
• 2+1
• 1+1+1

---

从上面n=5中，可知正整数5的最大加数等于2的划分个数为2，包括了：

---

• 2+2+1
• 2+1+1+1

---

我们知道，Q(3,2)=2，包括：

---

• 2+1
• 1+1+1

---

可以发现，它们的个数是相同的，而且Q(3,2)的每一项加上m=2即为正整数5的最大加数等于2的划分。

int Q(int n,int m)
{
    if(m==1) return 1;
    if(m>n) return Q(n,n);
    else if(m==n) return 1 + Q(n,n-1);
    return Q(n,m-1) + Q(n-m,m);
}

如果我们想要知道其划分结果，也是可以做的。

#include <iostream>

using namespace std;

//加数顺序可以颠倒 
int inter[256];
void perm(int num,int sum,int depth)
{
    if(sum==num)
    {
        cout<<inter[0];
        for(int i=1;i<depth;i++)
        {
            cout<<'+'<<inter[i];
        }
        cout<<endl;
    }
    else if(sum>num) return;
    else
    {
        //for(int i=1;i<=num;i++)
        for(int i=num;i>=1;i--)
        {
            inter[depth]=i;
            perm(num,sum+i,depth+1);
        }
    }
}

//加数顺序不存在颠倒 
void perm(int num,int sum,int depth,int max)
{
    if(sum==num)
    {
        cout<<inter[0];
        for(int i=1;i<depth;i++)
        {
            cout<<'+'<<inter[i];
        }
        cout<<endl;
    }
    else if(sum>num) return;
    else
    {
        //for(int i=1;i<=num;i++)
        for(int i=max;i>=1;i--)
        {
            inter[depth]=i;
            perm(num,sum+i,depth+1,i);
        }
    }
}

int main()
{ 
    cout<<"input a number: ";
    cin>>n;
    perm(n,0,0);
    perm(n,0,0,n);
    return 0;
}