动态规划解题的一般思路

  

                     动态规划解题的的一般思路 ？

 

1. 将原问题分解为子问题

      把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。

      子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求解一次。

2. 确定状态

      在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题，所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状态”所对应的子问题的解。

      所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有 N×(N+1)/2 个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有 N×(N+1)/2 个状态。

      整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。

      在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。

      用动态规划解题，经常碰到的情况是，K个整型变量能构成一个状态（如数字三角形中的行号和列号这两个变量构成“状态”）。如果这K个整型变量的取值范围分别是 N1, N2, ……Nk，那么，我们就可以用一个K维的数组 array[N1] [N2]……[Nk]来存储各个状态的“值”。这个 “值”未必就是一个整数或浮点数，可能是需要一个结构 才能表示的，那么array就可以是一个结构数组。一个 “状态”下的“值”通常会是一个或多个子问题的解。

3. 确定一些初始状态（边界状态）的值

      以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。

4. 确定状态转移方程

      定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(“人人为我”递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。

 

能用动规解决的问题的特点

      1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质。

      2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。

 

动态规划的两种常用形式

1）递归型

    优点：直观，容易编写

    缺点：可能会因递归层数太深导致爆栈，函数调用带来额外时间开销。无法使用滚动数组节省空间。总体来说，比递推型慢。

2）递推型

    效率高，有可能使用滚动数组节省空间。