《【CSP-J2020 入门】优秀的拆分( power)》 题解

正整数优秀拆分问题的贪心算法求解

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一般来说,一个正整数可以拆分成若干个正整数的和。

例如,1=1,10=1+2+3+4 等。对于正整数 n 的一种特定拆分,我们称它为“优秀的”,当且仅当在这种拆分下,n 被分解为了若干个不同的 2 的正整数次幂。注意,一个数 x 能被表示成 2 的正整数次幂,当且仅当 x 能通过正整数个 2 相乘在一起得到。

例如,10=8+2=23+21 是一个优秀的拆分。但是,7=4+2+1=22+21+20 就不是一个优秀的拆分,因为 1 不是 2 的正整数次幂。

现在,给定正整数 n,你需要判断这个数的所有拆分中,是否存在优秀的拆分。若存在,请你给出具体的拆分方案。

输入描述

输入只有一行,一个整数 n,代表需要判断的数。

输出描述

如果这个数的所有拆分中,存在优秀的拆分。那么,你需要从大到小输出这个拆分中的每一个数,相邻两个数之间用一个空格隔开。可以证明,在规定了拆分数字的顺序后,该拆分方案是唯一的。

若不存在优秀的拆分,输出 -1

### CSP-J2020 优秀拆分策略与解析 #### 题目背景 CSP-J2020 的“优秀拆分”问题要求将一个整数 $ n $ 拆分为若干个不同的 $ 2^k $(其中 $ k \geq 1 $)的和。如果 $ n $ 是奇数,则无法满足条件,输出 -1;否则需要输出具体的拆分结果。 #### 解题思路 1. **奇偶性判断**:根据题目规则,如果 $ n $ 是奇数,则直接输出 -1,因为奇数无法被表示为若干个 $ 2^k $ 的和[^1]。 2. **二进制分解**:对于偶数 $ n $,可以将其转化为二进制形式。每个二进制位上的 1 表示该位置对应的 $ 2^k $ 存在于拆分中[^3]。 3. **次幂限制**:由于 $ n \leq 10^7 $,而 $ 2^{25} > 10^7 $,因此只需要考虑 $ k $ 从 1 到 24 的范围。 4. **从高到低遍历**:从最大的 $ 2^k $ 开始逐个检查是否能被 $ n $ 整除。如果可以,则将该 $ 2^k $ 加入拆分结果,并更新 $ n = n - 2^k $[^5]。 5. **输出结果**:最终输出所有参与拆分的 $ 2^k $ 值。 #### 示例代码实现 以下是一个完整的 C++ 实现: ```cpp #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int main() { long long n; cin >> n; if (n % 2 == 1) { // 如果是奇数 cout << "-1"; return 0; } for (int i = 24; i >= 1; i--) { // 从大到小遍历2的次幂 if (n >= (1LL << i)) { // 检查是否能减去当前的2^i cout << (1LL << i) << " "; // 输出当前的2^i n -= (1LL << i); // 更新剩余值 } } return 0; } ``` #### 注意事项 - 使用 `1LL << i` 而不是 `pow(2, i)`,避免浮点数精度问题[^5]。 - 确保 $ k \geq 1 $,因为题目明确要求不包含 $ 2^0 $[^1]。 - 输出时注意格式,多个数字之间用空格分隔[^3]。 #### 示例分析 - 输入 $ n = 6 $: - $ 6 $ 是偶数,可以拆分为 $ 2^2 + 2^1 $。 - 输出为 `4 2`。 - 输入 $ n = 7 $: - $ 7 $ 是奇数,无法满足条件。 - 输出为 `-1`[^1]。 #### 时间复杂度 由于只需要遍历 $ k $ 从 1 到 24,时间复杂度为 $ O(\log n) $,能够高效处理 $ n \leq 10^7 $ 的数据范围。
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