《统计每个月兔子的总数》递归、记忆化数组、动态规划题解

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题目描述

输入描述

输出描述

解析

完整代码

描述

有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，一对小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问第n个月（n<=50）的兔子总数为多少对？

输入描述

输入1个整数n，表示第几个月

输出描述

第n个月兔子的总数量有多少？

用例输入 1

用例输出 1

来源

递归递推

注意，本文提供三种方法！

递归方法

这是一个经典的递归问题，通常称为斐波那契数列的兔子繁殖问题。从题目描述可以知道，第n个月的兔子总数可以通过前两个月的兔子总数推导出来：

第1个月和第2个月的兔子总数都是1对。
从第3个月开始，每个月的兔子总数等于前两个月兔子总数的和。

因此，可以用递归方法来解决这个问题。下面是用C++实现递归方法来计算第n个月的兔子总数的代码：


#include <iostream>

// 递归函数计算第n个月的兔子总数
int rabbitCount(int n) {
    if (n <= 0) {
        return 0; // 输入非法时，返回0
    }
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1; // 第1个月和第2个月兔子总数都是1
    }
    return rabbitCount(n - 1) + rabbitCount(n - 2); // 递归计算前两个月之和
}

int main() {
    int n;
    std::cin >> n;

    if (n <= 0 || n > 50) {
        std::cout << "输入的月份应该在1到50之间!" << std::endl;
    } else {
        int result = rabbitCount(n);
        std::cout << result << std::endl;
    }

    return 0;
}

用例输入和输出

输入：1
输出：1
输入：9
输出：34

说明

‌递归函数rabbitCount‌：该函数用于计算第n个月的兔子总数。
- 当n <= 0时，返回0，表示输入非法。
- 当n == 1或n == 2时，返回1，因为前两个月的兔子总数都是1对。
- 否则，返回rabbitCount(n - 1) + rabbitCount(n - 2)，即前两个月兔子总数的和。
‌主函数main‌：用于读取用户输入，并调用递归函数计算兔子总数。
- 检查输入是否在1到50之间，如果不在范围内，输出提示信息。
- 否则，调用递归函数计算并输出结果。

注意事项

递归方法虽然直观，但对于较大的n（如接近50），递归深度会很深，效率不高，容易导致栈溢出或超时。

记忆化数组方法

为了解决这个问题，我们可以使用记忆化数组方法来优化递归求解的过程。记忆化数组，也称为备忘录法，是一种通过记录先前计算结果来避免重复计算的技术。在这个问题中，我们可以定义一个数组来存储每个月兔子总数的计算结果，从而在递归过程中直接利用这些已存储的结果，提高效率。

下面是一个使用记忆化数组方法求解的C++代码示例：


#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 定义记忆化数组和递归函数
vector<int> memo;

int rabbitCount(int n) {
    // 基本情况：前两个月的兔子总数
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 检查记忆化数组中是否已经计算过第n个月的兔子总数
    if (memo[n] != -1) {
        return memo[n];
    }
    // 递归计算第n个月的兔子总数，并存储在记忆化数组中
    memo[n] = rabbitCount(n - 1) + rabbitCount(n - 2);
    return memo[n];
}

int main() {
    int n;
    // 输入第几个月

    cin >> n;

    memo.resize(n + 1, -1);

    int result = rabbitCount(n);
    cout  << result << endl;

    return 0;
}

代码解释：

‌记忆化数组‌：
- 使用vector<int>类型的memo数组来存储每个月兔子总数的计算结果。
- 初始时，将数组大小设置为n+1，并将所有元素初始化为-1，表示尚未计算。
‌递归函数‌：
- rabbitCount函数用于递归计算第n个月的兔子总数。
- 在递归过程中，首先检查基本情况（前两个月的兔子总数为1）。
- 然后，检查记忆化数组中是否已经计算过第n个月的兔子总数，如果是，则直接返回结果。
- 否则，递归计算第n个月的兔子总数，并将结果存储在记忆化数组中。
‌主函数‌：
- 读取用户输入的月份n。
- 初始化记忆化数组。
- 调用递归函数计算第n个月的兔子总数，并输出结果。

用例输入和输出：

输入：9
输出：34

这个代码示例展示了如何使用记忆化数组方法来优化递归求解过程，从而高效地计算第n个月的兔子总数。

动态规划方法

为了求解这个问题，我们可以采用动态规划的方法。动态规划是一种通过分解问题为更小的子问题，并存储这些子问题的解来避免重复计算的技术。在这个兔子繁殖的问题中，我们可以定义一个数组dp，其中dp[i]表示第i个月的兔子总数。

根据题目描述，我们可以得到以下递推关系：

第1个月和第2个月的兔子总数都是1对。
从第3个月开始，每个月的兔子总数等于前两个月兔子总数的和。

因此，我们可以使用动态规划来迭代计算每个月的兔子总数，直到达到所需的月份n。

下面是一个使用动态规划方法求解的C++代码示例：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int rabbitCount(int n) {
    // 特殊情况处理：如果n小于等于0，返回0
    if (n <= 0) {
        return 0;
    }
    
    // 定义动态规划数组，大小为n+1（因为数组索引从0开始）
    vector<int> dp(n + 1, 1);
    
    // 初始化前两个月的兔子总数
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 1;
    
    // 迭代计算从第3个月到第n个月的兔子总数
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    
    // 返回第n个月的兔子总数
    return dp[n];
}

int main() {
    int n;
    // 输入第几个月

    cin >> n;
    
    int result = rabbitCount(n);
    cout  << result << endl;
    
    return 0;
}

代码解释：

‌输入处理‌：
- 读取用户输入的月份n。
‌动态规划数组‌：
- 定义一个大小为n+1的数组dp，用于存储每个月的兔子总数。
- 初始化dp和dp为1，表示前两个月的兔子总数。
‌迭代计算‌：
- 使用一个for循环，从第3个月开始迭代计算到第n个月的兔子总数。
- 根据递推关系，dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，计算并存储每个月的兔子总数。
‌输出结果‌：
- 返回并输出第n个月的兔子总数。