《统计每个月兔子的总数》 递归、记忆化数组、动态规划题解

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题目描述

输入描述

输出描述

解析

完整代码


描述

有一对兔子,从出生后第3个月起每个月都生一对兔子,一对小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子,假如兔子都不死,问第n个月(n<=50)的兔子总数为多少对?

输入描述

输入1个整数n,表示第几个月

输出描述

第n个月兔子的总数量有多少?

用例输入 1 

9

用例输出 1 

34

来源

递归 递推

注意,本文提供三种方法!

递归方法

这是一个经典的递归问题,通常称为斐波那契数列的兔子繁殖问题。从题目描述可以知道,第n个月的兔子总数可以通过前两个月的兔子总数推导出来:

  • 第1个月和第2个月的兔子总数都是1对。
  • 从第3个月开始,每个月的兔子总数等于前两个月兔子总数的和。

因此,可以用递归方法来解决这个问题。下面是用C++实现递归方法来计算第n个月的兔子总数的代码:

​
#include <iostream>

// 递归函数计算第n个月的兔子总数
int rabbitCount(int n) {
    if (n <= 0) {
        return 0; // 输入非法时,返回0
    }
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1; // 第1个月和第2个月兔子总数都是1
    }
    return rabbitCount(n - 1) + rabbitCount(n - 2); // 递归计算前两个月之和
}

int main() {
    int n;
    std::cin >> n;

    if (n <= 0 || n > 50) {
        std::cout << "输入的月份应该在1到50之间!" << std::endl;
    } else {
        int result = rabbitCount(n);
        std::cout << result << std::endl;
    }

    return 0;
}

​

用例输入和输出

  • 输入:1
    输出:1
  • 输入:9
    输出:34

说明

  1. ‌递归函数rabbitCount‌:该函数用于计算第n个月的兔子总数。

    • n <= 0时,返回0,表示输入非法。
    • n == 1n == 2时,返回1,因为前两个月的兔子总数都是1对。
    • 否则,返回rabbitCount(n - 1) + rabbitCount(n - 2),即前两个月兔子总数的和。
  2. ‌主函数main‌:用于读取用户输入,并调用递归函数计算兔子总数。

    • 检查输入是否在1到50之间,如果不在范围内,输出提示信息。
    • 否则,调用递归函数计算并输出结果。

注意事项

  • 递归方法虽然直观,但对于较大的n(如接近50),递归深度会很深,效率不高,容易导致栈溢出或超时。


记忆化数组方法 

为了解决这个问题,我们可以使用记忆化数组方法来优化递归求解的过程。记忆化数组,也称为备忘录法,是一种通过记录先前计算结果来避免重复计算的技术。在这个问题中,我们可以定义一个数组来存储每个月兔子总数的计算结果,从而在递归过程中直接利用这些已存储的结果,提高效率。

下面是一个使用记忆化数组方法求解的C++代码示例:

​
#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 定义记忆化数组和递归函数
vector<int> memo;

int rabbitCount(int n) {
    // 基本情况:前两个月的兔子总数
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 检查记忆化数组中是否已经计算过第n个月的兔子总数
    if (memo[n] != -1) {
        return memo[n];
    }
    // 递归计算第n个月的兔子总数,并存储在记忆化数组中
    memo[n] = rabbitCount(n - 1) + rabbitCount(n - 2);
    return memo[n];
}

int main() {
    int n;
    // 输入第几个月

    cin >> n;

    memo.resize(n + 1, -1);

    int result = rabbitCount(n);
    cout  << result << endl;

    return 0;
}

​

代码解释:

  1. ‌记忆化数组‌:

    • 使用vector<int>类型的memo数组来存储每个月兔子总数的计算结果。
    • 初始时,将数组大小设置为n+1,并将所有元素初始化为-1,表示尚未计算。
  2. ‌递归函数‌:

    • rabbitCount函数用于递归计算第n个月的兔子总数。
    • 在递归过程中,首先检查基本情况(前两个月的兔子总数为1)。
    • 然后,检查记忆化数组中是否已经计算过第n个月的兔子总数,如果是,则直接返回结果。
    • 否则,递归计算第n个月的兔子总数,并将结果存储在记忆化数组中。
  3. ‌主函数‌:

    • 读取用户输入的月份n
    • 初始化记忆化数组。
    • 调用递归函数计算第n个月的兔子总数,并输出结果。

用例输入和输出:

  • 输入:9
  • 输出:34

这个代码示例展示了如何使用记忆化数组方法来优化递归求解过程,从而高效地计算第n个月的兔子总数。

动态规划方法

为了求解这个问题,我们可以采用动态规划的方法。动态规划是一种通过分解问题为更小的子问题,并存储这些子问题的解来避免重复计算的技术。在这个兔子繁殖的问题中,我们可以定义一个数组dp,其中dp[i]表示第i个月的兔子总数。

根据题目描述,我们可以得到以下递推关系:

  • 第1个月和第2个月的兔子总数都是1对。
  • 从第3个月开始,每个月的兔子总数等于前两个月兔子总数的和。

因此,我们可以使用动态规划来迭代计算每个月的兔子总数,直到达到所需的月份n

下面是一个使用动态规划方法求解的C++代码示例:

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int rabbitCount(int n) {
    // 特殊情况处理:如果n小于等于0,返回0
    if (n <= 0) {
        return 0;
    }
    
    // 定义动态规划数组,大小为n+1(因为数组索引从0开始)
    vector<int> dp(n + 1, 1);
    
    // 初始化前两个月的兔子总数
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 1;
    
    // 迭代计算从第3个月到第n个月的兔子总数
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    
    // 返回第n个月的兔子总数
    return dp[n];
}

int main() {
    int n;
    // 输入第几个月

    cin >> n;
    
    int result = rabbitCount(n);
    cout  << result << endl;
    
    return 0;
}

代码解释:

  1. ‌输入处理‌:

    • 读取用户输入的月份n
  2. ‌动态规划数组‌:

    • 定义一个大小为n+1的数组dp,用于存储每个月的兔子总数。
    • 初始化dpdp为1,表示前两个月的兔子总数。
  3. ‌迭代计算‌:

    • 使用一个for循环,从第3个月开始迭代计算到第n个月的兔子总数。
    • 根据递推关系,dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2],计算并存储每个月的兔子总数。
  4. ‌输出结果‌:

    • 返回并输出第n个月的兔子总数。

用例输入和输出:

  • 输入:9
  • 输出:34

这个代码示例展示了如何使用动态规划方法高效地计算第n个月的兔子总数,避免了递归方法中的重复计算问题。

结束了!

对了,忘说了一句话:

要想c++成绩好,就来jiabei小课堂

还有,点我主页,看我简介,别给那三个人点赞就完了

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