《PHP程序员面试算法宝典》读书笔记01——经典算法题

第1章 经典算法题

1.1 有多少苹果用来分赃

题目描述：

有5个人偷了一堆苹果，他们准备在第二天进行分赃。晚上，有个人溜出来，把苹果分成5份，将多余的一个扔给了树上的猴子，自己先将1/5藏了起来。其他4个人也都像第一个人那样，将苹果分成5份，将多余的一个扔给树上的猴子，偷走了1/5。第二天，大家分赃，也是分成5份，将多余的一个扔给猴子，最后一人分了一份。问：共有多少个苹果？

分析与解答：

假设总的苹果数量为s，上一个人对苹果划分时剩余的苹果数量为y，则有y=s-s/5-1。从这个公式开始，第一个人分的苹果总数s为最初的苹果总数，第二个人开始分赃直到结束分赃时，这个s都为上一个人分完剩余的苹果数量。以此类推。

<?php
/**
 * 1.有多少苹果用来分赃
 * 5人偷了一堆苹果，准备第二天分赃。晚上，一人偷偷将苹果分成5份，多的一个给了猴，自己藏了1/5。
 * 剩下的其他4个人，也同样这么想的，都像第一个人那样，将剩下的苹果分成5份，多的一个给猴，藏1/5。
 * 最后一人分了一份。问：苹果几何？
 */
for($s = 5; ; $s++) {
   
    if($s % 5 == 1 ) {
   
        $m = $s - round($s/5) - 1; // round()函数对浮点数进行四舍五入
        if($m % 5 == 1) {
   
            $n = $m - round($m/5) - 1;
            if($n % 5 == 1) {
   
                $k = $n - round($n/5) - 1;
                if($k % 5 == 1) {
   
                    $x = $k - round($k/5) - 1;
                    if($x % 5 == 1) {
   
                        $y = $x - round($x/5) - 1;
                        if($y % 5 == 1) {
   
                            echo $s;
                            exit();
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}
?>
// 15621

1.2 选猴王

题目描述：

群猴排成圈，按1~n依次编号。从第1只开始数，数到第m只，第m只猴出圈。从第m+1只开始，数到第m只，该猴出圈。以此类推，最后剩下一只猴，即可成为新任猴王。编程模拟此过程，输入m、n，输出猴王编号。

分析与解答：

首先将猴从1~n编号存放到数组中，对猴子的总个数进行循环，循环时将数到编号的猴子从数组删除，将未数到的猴子从原位置移到数组末尾，移动后需将原位置的编号删除。只要判断该编号数组个数大于1都继续循环，直到数组最后只剩下一个编号，这个编号则为猴王。

<?php
header("Content-type:text/html;charset=utf-8");
function monkeyKing($n, $m) {
   
    $monkeys = range(1, $n);
    $i = 0;
    $k = $n;
    while(count($monkeys) > 1) {
   
        if(($i+1) % $m == 0) {
   
            unset($monkeys[$i]);
        } else {
   
            array_push($monkeys, $monkeys[$i]);
            unset($monkeys[$i]);
        }
        $i++;
    }
    return current($monkeys);
}
$monkey = monkeyKing(5, 2);
echo "最后当猴王的猴子编号为：",$monkey; // 最后当猴王的猴子编号为：3
?>

1.3 移动多少盘子才能完成汉诺塔游戏（递归）

题目描述：

汉诺塔游戏规则如下：

1）有三根柱子A、B、C，A柱上有若干盘子；

2）每次移动一只盘子，只能把小的盘子叠在大的盘子上面；

3）把所有盘子从A柱移到C柱上；

4）经研究发现，汉诺塔的破解很简单，就是按照移动规则向一个方向移动盘子。

5）例如3阶汉诺塔的移动：A→C，A→B，C→B，A→C，B→A，B→C，A→C。共移动7次。

实现代码：

<?php
function hanou($n, $x, $y, $z) {
   
    if($n == 1) {
   
        echo '移动盘子 1 从 '.$x. ' 到 '.$z."\n";
    } else {
   
        hanou($n-1, $x, $z, $y);
        echo "移动盘子 $n 从 $x 到 $z\n";
        hanou($n-1, $y, $x, $z);
    }
}
hanou(3, 'A', 'B', 'C');
?>

控制台输出：

移动盘子 1 从 A 到 C
移动盘子 2 从 A 到 B
移动盘子 1 从 C 到 B
移动盘子 3 从 A 到 C
移动盘子 1 从 B 到 A
移动盘子 2 从 B 到 C
移动盘子 1 从 A 到 C

1.4 约瑟夫环

题目描述：

Josephus和他的朋友及另外39个犹太人共41个人排成一圈，从第一个人开始报数，每报道第三个人该人就必须自杀，然后由下一个人从1重新开始报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus和他的朋友并不想遵守规则，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

分析与解答：

使用程序来求解的话，只要将阵列当作环状来处理，在阵列中由计数1开始，每3个数得到一个计数，直到计数到41为止；然后将阵列由索引1开始列出，就可以得知每个位置的自杀顺序，这就是约瑟夫排列。41个人报数的约瑟夫排列（自杀顺序）如下表所示：

排列顺序	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
自杀顺序	14	36	1	38	15	2	24	30	3	16
排列顺序	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
自杀顺序	34	4	25	17	5	40	31	6	18	26
排列顺序	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
自杀顺序	7	37	19	8	35	27	9	20	32	10
排列顺序	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
自杀顺序	41	21	11	28	39	12	22	33	13	29
排列顺序	41
自杀顺序	23

实现代码：

<?php
header("content-type:text/html;charset=utf-8");
define("N",41); // 参与总人数
define("M",3); // 每到3自杀一人

$man = array(0);
$count = 1;
$i = 0;
$pos = -1;
$alive = 2; // 想救的人数
while($count <= N) {
   
    do{
   
        $pos = ($pos+1)%N; // 环状处理
        if(@$man[$pos] == 0) {
   
            $i++;
        }
        if($i == M) {
   
            $i = 0; // $i重置
            break;
        }
    } while(1);
    $man[$pos] = $count;
    $count++;
}
// 截取出对应最大键值对应的键名
arsort($man);
$arr = array_slice($man, 0, $alive, true