【2024全国I卷14题解答】

2024全国I卷14题解答

14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.

【答案】0.5

【解析】
首先，可以把甲乙的这个四轮比赛看作一个配对，即把1,3,5,7四个数字和2,4,6,8四个数字进行配对，就像连连看一样。也可以理解成把2,4,6,8四个数字放进四个标号为1,3,5,7的盒子中，这样共有4！=24种可能。

然后，我们可以不计较出牌顺序，因为总体24种情况也不计较顺序（如果计较顺序，分子分母都有个顺序，约掉了）。那么甲要得2分以上，就是2分和3分，这样共有多少种情况我们数一下，然后除以24就是最后的答案。

由于1这张牌出来是必输的，所以赢的可能要么是出3,5,7都赢了(3分)；要么3，5赢了或5,7赢了或3,7赢了，其他输了，即得2分的情况。下面列举分类讨论：

用符号(a,b,c)表示3局a,b,c都赢了，输了的局加下划线，比如（3,5,7）3输了，5,7赢了。

情况1. （3,5,7）
因为3要赢只能2,5要赢只能4，剩下7要输只能8，所以只有出(2,4,8)这一种情况。
情况2. （3,5,7）
3要赢只能出2, 5要输得出6或者8，因此，有(2,6,4)和(2,8,4),(2,8,6)三种情况。
情况3. （3,5,7）
5要赢可以2或4,然后7要赢只要不是8都行，所以有
(6,2,4),(8,2,4),(4,2,6),(8,2,6),(8,4,6),(8,4,2),(6,4,2)共7种情况。
情况4. （3,5,7）
类似情况1，最后一手7要赢只能出6，所以只有(2,4,6)一种情况。

把4种情况计数都加起来，共有12种情况，故甲的总得分不小于2的概率为12/24=0.5.