寻找两个排序数组的中位数

寻找两个排序数组的中位数

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中位数保持

从一组数字的中位数两边删除同样多的元素(不管被删除的数字的相对顺序是什么样的)，中位数保持。— 尽可以把位于中位数左边和右边的这些数字打乱，只要中位数两边被删除的数目相等就能使中位数保持(是剩下的这些数的中位数)。

情景分析

1. 假设两个已排序的数组，记为$A[m]$，$B[n]$。设想一下，当能确定这两个数组中比中位数小的数值的个数$x$以及比中位数大的数值的个数$y$时，求出$min =Min(x, y)$,那么同时去掉中位数两边(左边的数小于或等于中位数，右边的数大于或等于中位数)任意$min$个数，中位数保持。

为了便于描述，假设数组的起始坐标是1而不是0。还假设$C[m+n]$是将A和B组合起来排序了的数组。他的中位数下标记为c。记A的中位数的下标为a，B的中位数的下标为b。记$A[a]$在C中的下标位置为$C_a$，$B[a]$在C中的下标位置为$C_b$。

首先，当$A[a]==B[b]$时，C的中位数就是$A[a]$，看图。

位于两边的数的个数一定是相等的。

然后，若$A[a]\neq B[b]$，我们总有办法交换集合，使得集合A和B满足$A[a]\lt B[b]$
case1: m为奇数，n为奇数。
看图：

$\because A[a]<B[b]$，那么一定有:
$A[a]$在C中的下标位置 $C_a$最大能排在b所在位置 $C_b$的前面，所以有 $C_a\leq a+b-1= \frac{m+1}{2}+(\frac{n+1}{2}-1)=\frac{m+n}{2}=c$，于是，所有位于a左边的数均小于或等于c-1，均位于C的中位数的左边，他们的个数是 $\frac{m+1}{2}-1=\color{red}{\frac{m-1}{2}}$。
$B[b]$在C中的下标位置 $C_b$最小能排在a所在位置