关于特征值和特征向量的一些公式推导

什么是特征值和特征向量

考虑一个$2\times 2$矩阵

$$\begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix}$$
它如果和一个向量相乘的作用到底是什么
考虑：
对于二维空间内的一组正交基$(0,1)^T$和$(1,0)^T$

$$\begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$$
对于二维空间内的任意向量$(x,y)$
$$\begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1*x+2*y\\3*x+4*y\end{pmatrix}$$
于是可以看到：
在一个$n$维向量$x$的左边乘以一个相应的$n$阶矩阵$A$的作用就是把原先的坐标轴进行一个线性变换（shear:就像是剪刀的动作一样），原先的$(0,1)^T$和$(1,0)^T$变成了$(2,4)^T$和$(1,3)^T$，对于任意的向量可以得到一个shear后的新的坐标。

一个矩阵的特征值和特征向量就是，在这个shear的过程中，该向量(特征向量)只进行长度（正向和反向）(特征值)的变换，而不会在$A$的作用下发生类似时钟指针的动作（只会正向和反向拉伸或压缩，但是不会旋转）。

于是乎：
对于公式

$$A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\tag{1}$$
就体现了刚刚的那段话
要得到这个$\lambda$和$\mathbf{x}$我们可以对$(1)$进行处理

$$(A-\lambda E)\mathbf{x}=\mathbf{0}\tag{2}$$
如果让$(2)$有非零解，则有$\det(A-\lambda E)=0$