多维随机变量及其分布

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王先生的副业

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分类专栏：概率论重温概率论与数理统计

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概率论与数理统计

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二维随机变量

一般，设 $E$ 为一个随机试验，它的样本空间是 $S=\{e\}$ ,设 $X=X(e)$ 和 $Y=Y(e)$ 是定义在 $S$ 上的随机变量，由他们构成的一个向量 $(X,Y)$ 叫做二维随机向量，或者二维随机变量。
分布函数
设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，对于任意实数 $x,y$ ，二元函数：

F (x, y) = P {(X \leq x) \cap (Y \leq y)} = 记 成 P {X \leq x, Y \leq y}

$F(x,y)=P\{(X\leq x)\cap(Y\leq y)\}\mathop{=}^{记成}P\{X\leq x,Y\leq y\}$
称为二维随机变量

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 的分布函数，或称为随机变量

XX $X$ 和

Y

$Y$ 的联合分布函数。
这里写图片描述

分布函数

F(x,y)F(x,y) $F(x,y)$ 的性质

1∘1∘ $1^{\circ}$

F(x,y)F(x,y) $F(x,y)$ 是变量

xx $x$ 和

y

$y$ 的不减函数，即对任意固定的

yy $y$ ，当

x_{2} > x_{1}

$x_2>x_1$ 时,

F(x2,y)≥F(x1,y)F(x2,y)≥F(x1,y) $F(x_2,y)\geq F(x_1,y)$ ；对于任意固定的

xx $x$ ，当

y_{2} \geq y_{1}

$y_2\geq y_1$ 时

F(x,y2)≥F(x,y1)F(x,y2)≥F(x,y1) $F(x,y_2)\geq F(x,y_1)$

2∘2∘ $2^{\circ}$

0≤F(x,y)≤10≤F(x,y)≤1 $0\leq F(x,y)\leq 1$ 且

对于任意固定的

yy $y$ ,

F (- \infty, y) = 0

$F(-\infty,y)=0$
对于任意固定的

xx $x$ ,

F (x, - \infty) = 0

$F(x,-\infty)=0$

F(−∞,+∞)=0,F(+∞,+∞)=1F(−∞,+∞)=0,F(+∞,+∞)=1 $F(-\infty,+\infty)=0,F(+\infty,+\infty)=1$

3∘3∘ $3^{\circ}$

F (x + 0, y) = F (x, y), F (x, y + 0) = F (x, y)

$F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)$ ,即对于

F(x,y)F(x,y) $F(x,y)$ 关于

xx $x$ 右连续，关于

y

$y$ 也右连续。

4∘4∘ $4^{\circ}$
对于任意

(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2$ 下面不等式成立：

F (x 2, y 2) - F (x 2, y 1) + F (x 1, y 1) - F (x 1, y 2) \geq 0

$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\geq 0$

离散型随机变量

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 所有可能取值为 $(x_i,y_i),i,j=1,2,\cdots$ ，记 $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$ ，则由概率的定义有

p i j \geq 0, \sum i = 1 \infty \sum j = 1 \infty p i j = 1

$p_{ij}\geq 0,\sum_{i=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=1$
我们称

P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,⋯P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,⋯ $P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots$ 为二维离散型随机变量

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 的分布律，或称随机变量

XX $X$ 和

Y

$Y$ 的联合分布律
我们可以使用表格来表示

XX $X$ 和

Y

$Y$ 的联合分布律
与一维随机变量类似，对二维随机变量

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 的分布函数

F(x,y)F(x,y) $F(x,y)$ ，如果存在非负可积函数

f(x,y)f(x,y) $f(x,y)$ 使得对于任意

x,yx,y $x,y$ 有

F (x, y) = \int y - \infty \int x - \infty f (u, v) d u d v

$F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u,v)\mathbb{d}u\mathbb{d}v$
则称

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 是连续型的二维随机变量，函数

f(x,y)f(x,y) $f(x,y)$ 称为二维随机变量

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 的概率密度，或称为联合随机变量

XX $X$ 和

Y

$Y$ 的联合概率密度。
按照定义，概率密度

f(x,y)f(x,y) $f(x,y)$ 具有以下性质：

1∘1∘ $1^{\circ}$ :

f(x,y)≥0f(x,y)≥0 $f(x,y)\geq0$ .

2∘2∘ $2^{\circ}$ :

∫+∞−∞∫+∞−∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=F(+∞,+∞)=1 $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\mathbb{d}x\mathbb{d}y=F(+\infty,+\infty)=1$

3∘3∘ $3^{\circ}$ :
假设

GG $G$ 是

x O y

$xOy$ 平面上的区域，点

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 落在

GG $G$ 内的概率为

P {(X, Y) \in G} = \underset{G}{\int \int} f (x, y) d x d y

$P\{(X,Y)\in G\}=\mathop{\int\int}_{G}f(x,y)\mathbb{d}x\mathbb{d}y$

4∘4∘ $4^{\circ}$ :
若

f(x,y)f(x,y) $f(x,y)$ 在点

(x,y)(x,y) $(x,y)$ 连续，则有

\partial 2 F ( x , y ) \partial x \partial y = f (x, y)

$\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial{x}\partial{y}}=f(x,y)$

边缘分布

二维随机变量 $(X,Y)$ 作为一个整体，具有分布函数 $F(x,y)$ 。而 $X$ 和 $Y$ 都是随机变量，各自也有相应分布函数，将他们分布记为 $F_{X}(x)，F_{Y}(y)$ ，依次称为二维随机变量 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布函数。
边缘分布函数可以由 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 所确定，事实上：

F X (x) = P {X \leq x} = P {X \leq x, Y < \infty} = F (x, \infty)

$F_{X}(x)=P\{X\leq x\}=P\{X\leq x,Y<\infty\}=F(x,\infty)$
即：

F X (x) = F (x, \infty) F Y (y) = F (\infty, y)

$F_X(x)=F(x,\infty)\\ F_Y(y)=F(\infty,y)$
离散随机变量

F X (x) = F (x, + \infty) = \sum x i \leq x \sum j = 1 \infty p i j

$F_X(x)=F(x,+\infty)=\sum_{x_i\leq x}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}$

XX $X$ 的分布律为：

P {X = x_{i}} = \sum_{j = 1}^{\infty} p_{i j}, i = 1, 2, \dots

$P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij},i=1,2,\cdots$

YY $Y$ 的分布律为：

P {Y = y_{i}} = \sum_{i = 1}^{\infty} p_{i j}, j = 1, 2, \dots

$P\{Y=y_i\}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij},j=1,2,\cdots$
记：

p i \cdot = \sum j = 1 \infty p i j = P {X = x i}, i = 1, 2, \dots

$p_{i\cdot}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=P\{X=x_i\},i=1,2,\cdots$

p \cdot j = \sum i = 1 \infty p i j = P {Y = y j}, j = 1, 2, \dots

$p_{\cdot j}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}=P\{Y=y_j\},j=1,2,\cdots$
分别称

pi⋅(i=1,2,⋯)pi⋅(i=1,2,⋯) $p_{i\cdot}(i=1,2,\cdots)$ 和

p⋅j(j=1,2,⋯)p⋅j(j=1,2,⋯) $p_{\cdot j}(j=1,2,\cdots)$ 为

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 关于

XX $X$ 和

Y

$Y$ 的边缘分布律.

连续型随机变量

$(X,Y)$ ,设他的概率密度为 $f(x,y)$ ，由于

F X (x) = F (x, \infty) = \int x - \infty [\int \infty - \infty f (x, y) d y] d x

$F_X(x)=F(x,\infty)=\int_{-\infty}^{x}\left[\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\mathbb{d}y\right]\mathbb{d}x$

XX $X$ 是一个连续型随机变量，且其概率密度为：

f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d y

$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\mathbb{d}y$

$Y$ 是一个连续型随机变量，且其概率密度为：

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d x

$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\mathbb{d}x$
分布称

fX(x)fX(x) $f_X(x)$ 和

fY(x)fY(x) $f_Y(x)$ 为

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 关于

XX $X$ 和关于

Y

$Y$ 的边缘概率密度。

二维正态分布

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

f (x, y) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 - ρ 2 - - - - - \sqrt exp {- 1 2 ( 1 - ρ 2 ) [( x - μ 1 ) 2 σ 2 1 - 2 ρ ( x - μ 1 ) ( x - μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y - μ 2 ) 2 σ 2 2]}

$f(x,y)=\dfrac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp{\left\{\dfrac{-1}{2(1-\rho^2)}\left[\dfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\dfrac{(x-\mu_1)(x-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\dfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}}$
其中

μ1,μ2,σ1,σ2,ρμ1,μ2,σ1,σ2,ρ $\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho$ 都是常数，且

σ1>0,σ2>0,−1<ρ<1σ1>0,σ2>0,−1<ρ<1 $\sigma_1>0,\sigma_2>0,-1<\rho<1$ 。我们称

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 为服从

μ1,μ2,σ1,σ2,ρμ1,μ2,σ1,σ2,ρ $\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2,\rho$ 的二维正态分布。
记为：

(X, Y) \sim N (μ 1, μ 2, σ 21, σ 22, ρ)

$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$
另一种表示方法:

X = (x 1 x 2), μ = (μ 1 μ 2)

$X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix},\mathbf{\mu}=\begin{pmatrix}\mu_1\\\mu_2\end{pmatrix}$

(X1,X2)(X1,X2) $(X_1,X_2)$ 的协方差矩阵为：

C = (c 11 c 21 c 12 c 22) = (σ 21 ρ σ 1 σ 2 ρ σ 1 σ 2 σ 22)

$C=\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sigma_1^2&\rho\sigma_1\sigma_2\\\rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_2^2\end{pmatrix}$
它的行列式为：

detC=σ21σ22(1−ρ2)detC=σ12σ22(1−ρ2) $\det{C}=\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)$

CC $C$ 的逆矩阵为：

C^{- 1} = \frac{1}{det C} (\begin{matrix} σ_{2}^{2} & - ρ σ_{1} σ_{2} \\ - ρ σ_{1} σ_{2} & σ_{1}^{2} \end{matrix})

$C^{-1}=\dfrac{1}{\det{C}}\begin{pmatrix}\sigma_2^2&-\rho\sigma_1\sigma_2\\-\rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_1^2\end{pmatrix}$

(X - μ) T C - 1 (X - μ) = 1 det C (x 1 - μ 1 x 2 - μ 2) (σ 22 - ρ σ 1 σ 2 - ρ σ 1 σ 2 σ 21) (x 1 - μ 1 x 2 - μ 2) = 1 1 - ρ 2 [( x - μ 1 ) 2 σ 2 1 - 2 ρ ( x - μ 1 ) ( x - μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y - μ 2 ) 2 σ 2 2]

$\begin{aligned}\begin{pmatrix}X-\mu\end{pmatrix}^TC^{-1}\begin{pmatrix}X-\mu\end{pmatrix}&=\dfrac{1}{\det{C}}\begin{pmatrix}x_1-\mu_1&x_2-\mu_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sigma_2^2&-\rho\sigma_1\sigma_2\\-\rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_1^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1-\mu_1\\x_2-\mu_2\end{pmatrix} \\ &=\dfrac{1}{1-\rho^2}\left[\dfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\dfrac{(x-\mu_1)(x-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\dfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\\ \end{aligned}$
于是

(X1,X2)(X1,X2) $(X_1,X_2)$ 的概率密度可以写成：

f (x 1, x 2) = 1 ( 2 π ) 2 / 2 ( det C ) 1 / 2 exp {- 1 2 (X - μ) T C - 1 (X - μ)}

$\begin{aligned}f(x_1,x_2)=\dfrac{1}{(2\pi)^{2/2}(\det{C})^{1/2}}\exp{\left\{-\dfrac{1}{2}(X-\mu)^TC^{-1}(X-\mu)\right\}}\end{aligned}$

条件分布

设 $(X,Y)$ 是二维离散型随机变量，其分布律为：

P {X = x, Y = y i} = p i j, i, j = 1, 2, \dots

$P\{X=x,Y=y_i\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,\cdots$

(X,Y)(X,Y) $(X,Y)$ 关于

XX $X$ 和关于

Y

$Y$ 的边缘分布律分别为：

P {X = x i} = p i \cdot = \sum i = 1 \infty p i j, i = 1, 2, \dots P {Y = y i} = p \cdot j = \sum j = 1 \infty p i j, j = 1, 2, \dots

$P\{X=x_i\}=p_{i\cdot}=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij},\quad i=1,2,\cdots\\ P\{Y=y_i\}=p_{\cdot j}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij},\quad j=1,2,\cdots\\$

设 $p_{\cdot j}>0$ ，考虑在事件 $\{Y=y_j\}$ 已经发生的条件下事件 $\{X=x_i\}$ 发生的概率，也就是求事件

{X = x i ∣ Y = y j}, j = 1, 2, \dots

$\{X=x_i\mid Y=y_j\},\quad j=1,2,\cdots$ 的概率，由条件概率公式，可得

P {X = x i ∣ Y = y j} = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } = p i j p \cdot j, i = 1, 2, \dots

$P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\dfrac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\cdots$
上面条件概率具有分布律的性质：

1 \circ P {X = x i ∣ Y = y j} \geq 0; 2 \circ \sum i = 1 \infty P {X = x i ∣ Y = y j} = \sum i = 1 \infty p i j p \cdot j = 1 p \cdot j \sum i = 1 \infty p i j = p \cdot j p \cdot j = 1

$\begin{aligned} &1^{\circ}P\{X=x_i\mid Y=y_j\}\geq 0;\\ &2^{\circ}\sum_{i=1}^{\infty}P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}=\dfrac{1}{p_{\cdot j}}\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}=\dfrac{p_{\cdot j}}{p_{\cdot j}}=1\\ \end{aligned}$

定义：
设 $(X,Y)$ 是二维离散型随机变量，
对于固定的 $j$ ,若 $P\{Y=y_j\}>0$ 则称：

P {X = x i ∣ Y = y j} = P { X = x i , Y = y j } P { Y = y j } = p i j p \cdot j, i = 1, 2, \dots

$P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\dfrac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\cdots$
为在

Y=yjY=yj $Y=y_j$ 条件下随机变量

XX $X$ 的条件分布律

同样对于固定的 $i$ ,若 $P\{X=x_i\}>0$ ，则称

P {Y = y j ∣ X = x i} = P { X = x i , Y = y j } P { X = x i } = p i j p i \cdot, j = 1, 2, \dots

$P\{ Y=y_j \mid X=x_i\}=\dfrac{P\{X=x_i, Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}=\dfrac{p_{ij}}{p_{i\cdot}},j=1,2,\cdots$ 为在

X=xjX=xj $X=x_j$ 条件下随机变量

YY $Y$ 的条件分布律

定义：
设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$ ， $(X,Y)$ 关于 $Y$ 的边缘概率密度 $f_Y(y)$ 。若对于固定的 $y$ , $f_Y(y)>0$ ,则称 $\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件概率密度，记为：

f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f (x, y)}{f_{Y} (y)}

$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$
称 $\int_{-\infty}^{x}f_{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb{d}x=\int_{-\infty}^{x}\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\mathbb{d}x$ 为在 $Y=y$ 的条件下 $X$ 的条件分布函数。记：
$P\{X\leq x\mid Y=y\}$ 或者 $F_{X\mid Y}(x\mid y)$ ，即：
$F X ∣ Y (x ∣ y) = P {X \leq x ∣ Y = y} = \int x - \infty f ( x , y ) f Y ( y ) d x$ $F_{X\mid Y}(x\mid y)=P\{X\leq x\mid Y=y\}=\int_{-\infty}^{x}\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\mathbb{d}x$
且满足条件：

$f X ∣ Y (x ∣ y) = f ( x , y ) f Y ( y ) \int \infty - \infty f X ∣ Y (x ∣ y) d x = \int \infty - \infty f ( x , y ) f Y ( y ) d x = 1 f Y ( y ) \int \infty - \infty f (x, y) d x = 1$ $\begin{aligned} &f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\\ &\int_{-\infty}^{\infty}f_{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb{d}x=\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}\mathbb{d}x=\dfrac{1}{f_Y(y)}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\mathbb{d}x=1\\ \end{aligned}$

相互独立的随机变量

定义:
设 $F(x,y)$ 以及 $F_X(x),F_Y(y)$ 分别是二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数以及边缘分布函数，若对于所有 $x,y$ 有：

$P {X \leq x, Y \leq y} = P {X \leq x} P {Y \leq y}$ $P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}$
即：
$F (x, y) = F X (x) F Y (y)$ $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$
$\Leftrightarrow$ 若 $(X,Y)$ 是连续型随机变量， $f(x,y),f_X(x),f_Y(y)$ 分别为 $(X,Y)$ 的概率密度和边缘概率密度，则 $X$ 和 $Y$ 相互独立的条件为
$f (x, y) = f X (x) f Y (y)$ $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 在平面上几乎处处成立（除去面积为零的集合外处处成立。）
则称随机变量 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的.

两个随机变量的函数分布(连续)

$Z=X+Y$

设 $(X,Y)$ 是二维连续型随机变量，它具有概率密度 $f(x,y)$ ，则 $Z=X+Y$ 仍为连续型随机变量，其概率密度为：

$f X + Y (Z) = \int + \infty - \infty f (z - y, y) d y$ $f_{X+Y}(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)\mathbb{d}y$
或
$f X + Y (Z) = \int + \infty - \infty f (x, z - x) d x$ $f_{X+Y}(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\mathbb{d}x$
若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，设 $(X,Y)$ 的关于 $X$ 和 $Y$ 的边缘概率密度分别为 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$
则上式可以写为：
$f X + Y (Z) = \int + \infty - \infty f X (z - y) f Y (y) d y$ $f_{X+Y}(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\mathbb{d}y$
或
$f X + Y (Z) = \int + \infty - \infty f X (x) f Y (z - x) d x$ $f_{X+Y}(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathbb{d}x$
这两个公式被称为 $f_X$ 和 $f_Y$ 的卷积公式，记为 $f_X*f_Y$ 即：
$f X * f Y = \int + \infty - \infty f X (z - y) f Y (y) d y = \int + \infty - \infty f X (x) f Y (z - x) d x$ $f_X*f_Y=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\mathbb{d}y=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathbb{d}x$
$Z=\dfrac{Y}{X},Z=XY$

$M=\max{\{X,Y\}},M=\min{\{X,Y\}}$

随机变量的相互独立性

$(1)$ 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率分布函数为 $F(x,y)$ ，边缘概率分布函数分别为 $F_X(x),F_Y(y)$ ，如果对于任意实数 $x,y$ 都有：

$F (x, y) = F X (x) \cdot F Y (y) (x \in R), y \in R)$ $F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)(x\in \mathbf{R}),y\in\mathbf{R})$
即事件 $\{X\leq x\}$ 和 $\{Y\leq y\}$ 相互独立
则称 $X$ 和 $Y$ 相互独立，否则称 $X$ 和 $Y$ 不相互独立
$(2)$ 如果 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 的联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即
$F (x 1, x 2, \dots, x n) = F 1 (x 2) \dots F n (x n)$ $F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=F_1(x_2)\cdots F_n(x_n)$
其中 $F_i(x)$ 为 $X_i$ 的边缘分布函数， $x_i$ 为任意实数，则称 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立

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【概率论】多维随机变量及其分布

liu20020918zz的博客

08-04 1853

设EEE是一个随机变量，它的样本空间是S={e}S=\{e\}S={e}，设X=X(e)X=X(e)X=X(e)和Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在SSS上的随机变量，由它们构成一个向量(X,Y)(X,Y)(X,Y)叫做二维随机变量设(X,Y)(X,Y)(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,yx,yx,y，均存在二元函数F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}F(x,y)=P\{(X\leq x)\cap (Y\leq y)\}F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}记作P{X≤x,Y≤y

数理统计——多维随机变量及其分布.pdf

07-02

数理统计课程中一个重要的章节就是关于多维随机变量及其分布的内容。本章内容主要涵盖了多维随机变量及其联合分布的概念，边际分布与随机变量独立性的关系，以及多维随机变量函数的分布特性。首先，多维随机变量是...

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部编版第三章多维随机变量及其分布考研试题及答案.doc

09-09

多维随机变量及其分布考研试题及答案多维随机变量是概率论和统计学中的一种基本概念，它是指多个随机变量的集合体。多维随机变量的分布是指这些随机变量的联合分布，它可以用来描述多个随机变量之间的关系。多维...

概率论与数理统计-多维随机变量及其分布练习题

05-12

根据给定的文件标题“概率论与数理统计-多维随机变量及其分布练习题”以及描述中的相同内容，我们可以看出这份资料主要涉及了多维随机变量及其分布的相关概念和应用，特别关注于多维随机变量的概率分布、边缘分布、...

多维随机变量及其分布概率论复习笔记

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10-11 752

两个随机变量 XX和 YY被称为独立的，如果它们满足以下条件：

【概率论与数理统计】多维随机变量及其分布：二维随机变量性质与应用综述

最新发布

07-15

首先定义了二维随机变量及其分布函数，强调其性质不仅取决于单个随机变量，还与两者间的依赖关系有关。接着阐述了边缘分布的概念，即二维随机变量各自独立的分布情况，并给出计算边缘分布函数和边缘概率密度的方法。...

概率论与数理统计——多维随机变量及其分布

LateNight_LL的博客

09-12 1888

文章目录二维随机变量及其分布1.二维随机变量2.联合分布函数3.二维离散型随机变量4.二维连续型随机变量边缘分布1.边缘分布函数2.边缘分布律3.边缘概率密度二维随机变量及其分布 1.二维随机变量 设E是随机试验，样本空间Ω={ω}，由X=X(ω),Y=Y(ω)构成的向量(X,Y)称为二维随机变量 2.联合分布函数设(X,Y)是二维随机变量，x，y是两个任意实数，则称定义在平面上的二元函数P{X≤x，Y≤y}为(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数，记作F(x,y),即

【概率论及数理统计】第4章多维随机变量及其分布

周文龙的博客

06-28 1316

E2:射击一枪，观察弹着点(X,Y). 一般，设E的样本空间Ω={ω}, X=X(ω),Y=Y(ω)均为随机变量，称(X,Y)为二维随机变量（或二维随机向量）。若二维随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)可表为如下形式，其中f(x,y) ≥0，则称(X,Y)为连续二维随机变量， f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或X和Y的联合概率密度。(X,Y)中，X、Y均为随机变量，它们的分布函数分别记为FX(x) 和FY(y) ，依次称为二维 随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。

多维随机变量及其分布4

chichi_magic的博客

09-12 1104

多维随机变量及其分布

概率论笔记—多维随机变量及其分布

weixin_41922484的博客

03-06 1754

目录一、多维随机变量二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量 一、多维随机变量 ① 如果X1,X2,⋅⋅⋅,XnX_1,X_2,···,X_nX1,X2,⋅⋅⋅,Xn是定义在同一个样本空间Ω\OmegaΩ上的nnn个随机变量，则称(X1,X2,⋅⋅⋅,Xn)(X_1,X_2,···,X_n)(X1,X2,⋅⋅⋅,Xn)为nnn维随机变量或nnn维随机向量，Xi(i=1,2,⋅⋅⋅,n)X_i(i=1,2,···,n)Xi(i=1,2,⋅⋅⋅,n)称为第iii个分量。当n=2n=2n=.

概率论总结(二)：多维随机变量及其分布

JacksonKim的博客

05-20 1万+

一、多维随机变量及其分布 1.二维随机变量 根据随机变量的定义我们知道它其实是关于样本空间的函数，同样，二维随机变量也是关于样本空间的函数。只不过这里是关于样本空间的两个函数。比如样本空间是某地区全部学龄前儿童，那么它们的身高和体重就是关于样本空间的两个函数(或称映射)，所以它们也是定义在样本空间S上的两个随机变量。一般来讲，多维的随机变量都是关于一个样本空间的。在机器学习中，常用多维随机变量描述一个事物的多重属性，然后用统计学知识(如朴素贝叶斯、贝叶斯网络)解决实际问题(如将事物进...

随机变量及其分布和几种常见分布

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Don't rush and never settle. If it's meant to be, it will be.

05-27 1万+

随机变量 定义：设随机试验的样本空间S={e}.X=X(e)S={e}.X=X(e)S=\{e\}.X=X(e)是定义在样本空间SSS上的实值单值函数。称X=X(e)X=X(e)X=X(e)为随机变量。投掷一枚硬币三次，观察出现正面和反面的情况样本空间是： S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,T...