二叉排序树

这是所有树最基础的操作，分为左旋转和右旋转，下图直接取自算法导论

 

可以看到右旋操作时，y的右子树一直保持不变，左旋操作时，x的左子树一起保持不变

 

旋转是很多二叉平衡树维持平衡的主要手段，在这里复习一下。其实旋转过程中节点位置的变化只要遵循一个原则就行了：比Root小的在左子树，比Root大的在右子树。（当然这里前提条件是左小右大）。

情况一：插入F节点导致失衡：

这里失衡的是A的左右子树，很容易就可以想到旋转B-A链，值得注意的是E节点，它原先在B的右子树，现在也依然在B的右子树，它原先在A的左子树，现在也依然在A的左子树。

若插入F节点在D的右子树处，旋转操作依然是上图那样，不谈。

但如果插入F节点是E的孩子就不一样了。

情况二：插入F节点导致失衡：

插入节点是E的孩子时，如果我们还像上面那样旋转B-A链，旋转后的树依然是不平衡的。事实上，这样的旋转使得B成为了新的根节点，而原图中比B大的节点有4个，比B小的节点只有D，若B为根其左子树只能为D，必定是不平衡的。

我们仔细观察原图，这里E节点是很特殊的节点。首先它是实际执行了插入操作的节点，其次图中比E小的节点有B、D、F，比E大的节点有A、C。如果能够让E节点做新的根节点就很好平衡了，那么怎样让E节点“上位”呢？

方法是进行两次旋转，如下图：

E节点恐成最大赢家……

插入节点是E的右子树的情况与之类似，这里给出旋转图：

F比E大，双旋之后还是在E的右节点。

双旋看图理解起来简单，实际实现时要注意，我们可以判断失衡的是A节点，由A有直接关系的是B和C，那么我们怎么知道新插入的F节点是D的子树还是E的子树呢？这里的方法是比较F节点值与B的大小，大则是E的子树，要左-右共两次旋转，小则是D的子树，要一次右旋转。

 

当然还要考虑镜像情况：

情况三：插入 F导致失衡：

进行一次左旋，关注D节点，它比C小，旋转后依然在C的左子树。

情况四：插入F导致失衡：

这时候左旋失败，理由和之前右旋失败类似，比C节点大的节点只有一个E，C是没法做新的根节点的。这里特殊的是D节点。

进行右-左两次双旋就可以了。D节点：爽到……

插入节点是D的右子树情况类似，RT：

 

情况一对应教科书上的 LL 类型。 情况二队应教科书上的 LR 类型。 情况三对应教科书上的 RR 类型。 情况四对应教科书上的 RL 类型。