奇异值和特征值

定义

特征值：一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa，则a为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。

奇异值：设A为m*n阶矩阵，A^HA的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为σ_i(A)

关系

对于对称矩阵和 Hermite 矩阵而言， 一个非负的特征值也是一个奇异值，相应的特征向量是相应的左右奇异向量。 

几何意义

奇异值：对任意m×n阶距阵A做分解之后得到两个正交距阵U，V和一个广义对角阵（其中的对角元素就是奇异值），有了这样一个简单的描述后，对任意向量x，对应的变换Ax就可以用A分解后的三个距阵来计算了。这样的话，对于v阵的任一个元素Vi，经过变换AVi就可以得到唯一的一个Uiσi，这样就有了大家都知道的几何意义：当A是方阵时，其奇异值的几何意义是：若X是n维单位球面上的一点，则Ax是一个n维椭球面上的点，其中椭球的n个半轴长正好是A的n个奇异值。简单地说，在二维情况下，A将单位圆变成了椭圆，A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴。

首先，矩阵可以认为是一种线性变换，而且这种线性变换的作用效果与基的选择有关。

以Ax = b为例，x是m维向量，b是n维向量，m,n可以相等也可以不相等，表示矩阵可以将一个向量线性变换到另一个向量，这样一个线性变换的作用可以包含旋转、缩放和投影三种类型的效应。

奇异值分解正是对线性变换这三种效应的一个析构。
A=，和是两组正交单位向量，是对角阵，表示奇异值，它表示我们找到了和这样两组基，A矩阵的作用是将一个向量从这组正交基向量的空间旋转到这组正交基向量空间，并对每个方向进行了一定的缩放，缩放因子就是各个奇异值。如果维度比大，则表示还进行了投影。可以说奇异值分解将一个矩阵原本混合在一起的三种作用效果，分解出来了。

而特征值分解其实是对旋转缩放两种效应的归并。（有投影效应的矩阵不是方阵，没有特征值）
特征值，特征向量由Ax=x得到，它表示如果一个向量v处于A的特征向量方向，那么Av对v的线性变换作用只是一个缩放。也就是说，求特征向量和特征值的过程，我们找到了这样一组基，在这组基下，矩阵的作用效果仅仅是存粹的缩放。对于实对称矩阵，特征向量正交，我们可以将特征向量式子写成，这样就和奇异值分解类似了，就是A矩阵将一个向量从x这组基的空间旋转到x这组基的空间，并在每个方向进行了缩放，由于前后都是x，就是没有旋转或者理解为旋转了0度。

总结一下，特征值分解和奇异值分解都是给一个矩阵(线性变换)找一组特殊的基，特征值分解找到了特征向量这组基，在这组基下该线性变换只有缩放效果。而奇异值分解则是找到另一组基，这组基下线性变换的旋转、缩放、投影三种功能独立地展示出来了。我感觉特征值分解其实是一种找特殊角度，让旋转效果不显露出来，所以并不是所有矩阵都能找到这样巧妙的角度。仅有缩放效果，表示、计算的时候都更方便，这样的基很多时候不再正交了，又限制了一些应用。