最简单的NP-hard问题

前言

本文介绍了最简单的NP-hard问题——数字分区问题，以及该问题的一个伪多项式解法和两个近似解法。

数字分区问题

讨论这样一个问题：给定一个正整数的多重集合 ，能否将划分为两个子集和，使得中元素的和与中元素的和相等？在数论和计算机科学中，该问题被称为是数字分区问题，尽管NP完全，但是却存在动态规划的解法能够在伪多项式时间内求解，并且在许多情况下，存在最佳或者是近似的解决方法。因此，这个问题也被称为"最简单的NP-hard问题"。

比如给定多重集合存在子集和，这两个子集划分了。这个解并不是唯一的。和是另外一组解。

并不是所有的多重集合都能找到这个问题的解，比如。

伪多项式时间算法

在多重集合元素的个数和多重集合元素的和值不是很大时，可以采用动态规划来解决。

假设问题的输入是具有个正整数的多重集合

设为中元素的和值。那么算法就是找出一个的子集，其和为 。如果这样的子集存在，那么：

• 如果是偶数，中其余元素的和也是

• 如果是奇数，中其余元素的和是，我们将会得到一个近似解。

重叠子问题