18、数值积分方法：从基础到高级的全面解析

数值积分方法：从基础到高级的全面解析

1. 基础积分规则示例

在数值积分领域，我们可以通过实践来理解不同积分规则的效果。以计算区间 $[0, 1]$ 上 $x^4$ 的积分为例，其精确值为 $0.2$。我们使用程序计算了中点规则、梯形规则和辛普森规则在十个层级上的近似值，结果如下表所示：
| Level | Midpoint | Trapezoidal | Simpson’s |
| — | — | — | — |
| 0 | 1.375000e - 01 | 3.000000e - 01 | 8.333333e - 03 |
| 1 | 3.984375e - 02 | 8.125000e - 02 | 5.208333e - 04 |
| 2 | 1.030273e - 02 | 2.070312e - 02 | 3.255208e - 05 |
| 3 | 2.597046e - 03 | 5.200195e - 03 | 2.034505e - 06 |
| 4 | 6.505966e - 04 | 1.301575e - 03 | 1.271566e - 07 |
| 5 | 1.627326e - 04 | 3.254890e - 04 | 7.947286e - 09 |
| 6 | 4.068837e - 05 | 8.137822e - 05 | 4.967053e - 10 |
| 7 | 1.017242e - 05 | 2.034493e - 05 | 3.104406e - 11 |
| 8 | 2.543125e - 06 | 5.086255e - 06 | 1.940226e -