例题5.23 蚂蚁 LA4043

最新推荐文章于 2018-11-29 17:25:55 发布

原创最新推荐文章于 2018-11-29 17:25:55 发布 · 498 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#KM算法 #二分图最佳完美匹配

算法竞赛入门经典（训练指南）同时被 2 个专栏收录

119 篇文章

订阅专栏

图论——二分图匹配

4 篇文章

订阅专栏

本文通过例题5.23 LA4043介绍如何利用KM算法求解二分图的最佳完美匹配。在构建的二分图中，白点对应X结点，黑点对应Y结点，边的权重为欧几里得距离的负值。通过KM算法，可以确保在最佳匹配过程中不会有线段相交，从而避免长度增加，保证了匹配的最优性。

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题利用KM算法解决。可以构造一个二分图，把每个白点对应成X结点，黑点对应成Y结点，每个黑点和每个白点相连，权值等于欧几里得距离的负值。然后用KM算法求二分图最佳完美匹配即可解决本题。为什么可以这样做呢？假设在求解最佳完美匹配时候，线段a1-b1和线段a2-b2相交了，那么一定有dist(a1,b1)+dist(a2,b2)>dist(a1,b2)+dist(a2,b1)。因此，如果把这两条线段改成a1-b2,a2-b1后长度会减小（在本题的代码中，由于是负数，因此相当于权值增大），与“最佳”相互矛盾。换句话说，求解最佳完美匹配的过程中，不会出现线段相交的情况。

3.代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
//#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<list>
#include<complex>
#include<functional>
using namespace std;

#define me(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define rep(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define pb push_back
typedef long long ll;
typedef pair <int,int> P;


const int maxn=100+10;
const double INF=1e30;

int n;
double W[maxn][maxn];
double Lx[maxn],Ly[maxn];
int Left[maxn];

bool S[maxn],T[maxn];

bool eq(double a,double b)
{
    return fabs(a-b)<1e-9;
}

bool match(int i)
{
    S[i]=true;
    for(int j=1;j<=n;j++)
        if(eq(Lx[i]+Ly[j],W[i][j])&&!T[j])
    {
        T[j]=true;
        if(!Left[j]||match(Left[j]))
        {
            Left[j]=i;return true;
        }
    }
    return false;
}



void update()
{
    double a=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(S[i])
        for(int j=1;j<=n;j++)if(!T[j])
        a=min(a,Lx[i]+Ly[j]-W[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(S[i])Lx[i]-=a;
        if(T[i])Ly[i]+=a;
    }
}


void KM()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Left[i]=Lx[i]=Ly[i]=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            Lx[i]=max(Lx[i],W[i][j]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(;;)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)S[j]=T[j]=0;
            if(match(i))break;
            else update();
        }
    }
}


int main()
{
    int kase=0;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(kase++)puts("");
        int x1[maxn],y1[maxn],x2[maxn],y2[maxn];
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x1[i],&y1[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&x2[i],&y2[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            double dx=(double)(x1[i]-x2[j]);
            double dy=(double)(y1[i]-y2[j]);
            W[j][i]=-sqrt(dx*dx+dy*dy); //权值是欧几里得距离的负值
        }
        KM();
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%d\n",Left[i]);
    }
}