2015编程之美初赛第一场 C 质数相关

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#最大流 #图论 #二分图

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探讨了如何通过最大流算法解决寻找集合中质数无关子集的最大规模问题，并提供了详细的算法实现步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

时间限制:2000ms

单点时限:1000ms

内存限制:256MB

描述

两个数a和 b (a<b)被称为质数相关，是指a × p = b，这里p是一个质数。一个集合S被称为质数相关，是指S中存在两个质数相关的数，否则称S为质数无关。如{2, 8, 17}质数无关，但{2, 8, 16}, {3, 6}质数相关。现在给定一个集合S，问S的所有质数无关子集中，最大的子集的大小。

输入

第一行为一个数T，为数据组数。之后每组数据包含两行。

第一行为N，为集合S的大小。第二行为N个整数，表示集合内的数。

输出

对于每组数据输出一行，形如"Case #X: Y"。X为数据编号，从1开始，Y为最大的子集的大小。

数据范围

1 ≤ T ≤ 20

集合S内的数两两不同且范围在1到500000之间。

小数据

1 ≤ N ≤ 15

大数据

1 ≤ N ≤ 1000

样例输入

3
5
2 4 8 16 32
5
2 3 4 6 9
3
1 2 3

样例输出

Case #1: 3
Case #2: 3
Case #3: 2

2.解题思路：本题利用最大流解决。首先可以把所有质数相关的数找出来，这里用ss数组来标记它们。接下来是建图过程。如果数字a[i]是质数相关的，那么把i和源点s之间连接一条边。否则，把它和汇点t之间连接一条边。接下来，如果发现数字a[i]=a[j]*p，或者a[j]=a[i]*p，那么将i和j之间连接一条边。所有边的容量均为1.接下来对这个图求解最大流。利用最小割最大流定理可知，n-maxflow()即为包含质数无关点数最多的子集。

3.代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<functional>
using namespace std;

int ss[510000], T, a[1100];
bool prime[510000];

#define INF 1000000000
#define min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
int n, m, i, q, h, mid, len, s, t, till[3100000], go[3100000], Next[3100000], f[3100000], D[3100000], n1[3100000];
bool cc[3100000];

void add(int x, int y, int z) {
	Next[++len] = till[x];
	till[x] = len;
	go[len] = y;
	f[len] = z;
}

void Ad(int x, int y, int z) {
	add(x, y, z);
	add(y, x, 0);
}

bool bfs() {
	int q, h, i;
	memset(D, 0, sizeof D);
	memset(cc, 1, sizeof cc);
	for (D[n1[q = h = 1] = s] = 1; q <= h; q++)
	for (i = till[n1[q]]; i; i = Next[i])
	if (f[i] && !D[go[i]])	D[n1[++h] = go[i]] = D[n1[q]] + 1;
	return D[t];
}

int dfs(int k, int mi) {
	if (k == t)	return mi;
	int i, tmp, sum = 0;
	for (i = till[k]; i && mi; i = Next[i])
	if (f[i] && D[go[i]] == D[k] + 1 && cc[go[i]]) {
		tmp = dfs(go[i], min(mi, f[i]));
		sum += tmp;
		mi -= tmp;
		f[i] -= tmp;
		f[i ^ 1] += tmp;
	}
	if (!sum)	cc[k] = false;
	return sum;
}

int maxFlow() {
	int sum = 0;
	while (bfs())	sum += dfs(s, INF);
	return sum;
}

int main() 
{
	freopen("t.txt", "r", stdin);
	ss[1] = 0;
	for (int i = 2; i <= 500000; i++)//筛素数
		prime[i] = true;
	for (int i = 2; i <= 500000; i++) {
		for (int j = i + i; j <= 500000; j += i) prime[j] = false;
	}
	for (int i = 1; i <= 500000; i++)
	for (int j = 1; j <= 500000 / i; j++)
	if (prime[j]) ss[i * j] = 1 - ss[i];//把所有质数相关的数标记为1
	scanf("%d", &T);
	for (int mm = 1; mm <= T; mm++) {
		printf("Case #%d: ", mm);
		scanf("%d", &n);
		for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
		len = 1;
		s = 0;//源点
		t = n + 1;//汇点
		for (int i = 0; i <= n + 1; i++)
			till[i] = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (ss[a[i]]) Ad(0, i, 1);//如果a[i]是质数相关的数，源点和i连接一条边
		else Ad(i, n + 1, 1);//否则，i和汇点连接
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		if (ss[a[i]])
		for (int j = 1; j <= n; j++)
		if (!ss[a[j]]) {
			if (a[i] > a[j]) {
				if (a[i] % a[j] == 0 && prime[a[i] / a[j]]) Ad(i, j, 1);//如果a[i]是质数相关且那个质数为a[i]/a[j]，为i和j之间连接一条边
			}
			else {
				if (a[j] % a[i] == 0 && prime[a[j] / a[i]]) Ad(i, j, 1);
			}
		}
		printf("%d\n", n - maxFlow());//用Dinic算法求最大流，利用最小割最大流定理，剩下的点就是最大的子集
	}
}