什么是光滑的函数？

最新推荐文章于 2025-02-05 23:42:33 发布
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分类专栏： 算法 数学 最优化
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本文介绍了光滑函数的概念及其在数学分析中的重要性。光滑函数是指在其定义域内无限次连续可导的函数。文章还探讨了光滑函数在优化过程中的应用，特别是在确保获得全局最优解方面的作用。

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光滑函数(smooth function)是指在其定义域内无穷阶数连续可导的函数。

在数学分析中，一个函数连续不一定可导，可导一定连续。原函数可导，导函数不一定连续。函数可偏导数也能推出函数可微（可导）

偏导在点连续=》可微=》在点可偏导，原函数在点连续
原函数在点可导《==》在点可微=》在点连续

例如，指数函数显然是光滑的，因为指数函数的导数是指数函数本身。

优化过程中，如果目标函数是光滑函数，那么有一些最优化方法可以保证优化时得到全局最优解。



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X_test['utilization_rate'] *= 1.05 # 计算增量 delta = gam.predict(X_test) - gam.predict(pd.DataFrame(X_base)) print(f"余额预期增长：{delta:.2f}万元") ``` #### 五、模型诊断与验证 1. **光滑函数诊断图** - 拟合曲线与散点图重叠度 - 置信区间宽度（反映估计稳定性） - 残差分布（应随机分布） 2. **业务合理性检验** - 检查单调性：如户均授信增加不应降低余额 - 验证拐点：如授信通过率在85%以上时效应递减 #### 六、进阶处理技巧 1. **交互作用处理** 添加交叉项光滑函数： ```python # 进件量与授信通过率的交互 gam += te(0, 1) # 张量积光滑 ``` 2. **时间效应建模** 纳入时间变量的周期样条： ```r s(month, bs='cc', k=12) # 周期样条处理月度波动 ``` 3. **异常业务场景约束** 设置导数约束避免不合理预测： ```r s(approval_rate, bs='cr', pc=0.8) # 在80%通过率处设置拐点 ``` ### 业务应用输出示例 通过部分依赖图可直观得到业务洞见： ``` | 变量 | 最优区间 | 边际收益率 | |--------------|------------|------------| | 进件量 | 500-800件/日 | +0.2%/百件 | | 额度使用率 | 75%-85% | +1.2%/百分点 | | 授信通过率 | 70%-80% | +0.8%/百分点 | ``` > **关键建议**：优先使用**惩罚三次样条（P-splines）**，因其： > 1. 自动优化光滑度 > 2. 支持业务约束嵌入 > 3. 计算效率高（尤其大数据场景）[^1][^3] --- ### 相关问题 1. 如何验证GAM中光滑函数的拟合优度是否显著？ 2. 当自变量存在多重共线性时，GAM的光滑函数会如何表现？ 3. 如何将业务策略（如授信政策调整）转化为光滑函数约束？ 4. 在Python中如何提取并可视化GAM的偏导函数？ 5. 时点余额预测模型如何与风险模型联动优化？
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