数据结构：二叉树的遍历

一、树的性质

1、树的度：树的度是树内各节点中度的最大值。

2、二叉树的性质

• 在二叉树的第i层上之多有2^i-1个结点（i >= 1）。
• 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点。
• 对于任何一棵二叉树T，如果其终端节点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则：n₀ = n₂ + 1;
• 满二叉树：深度为k，且含有2^k-1个结点的二叉树。
• 完全二叉树：深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应，称之为完全二叉树。
• 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n + 1。
• 如果对任一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i（1 <= i <= n），有：
  当i=1时，其为根节点；如果i>1，则其双亲结点为 i/2 取下；
  当2i > n时，则结点i没有 左孩子，否则2i为结点i的左孩子；
  当2i+1 > n时，则结点i没有 右孩子，否则2i+1 为结点i的右孩子；

二、二叉树的存储结构

1、顺序存储

#define MAXSIZE 100
typedef TElemType sqBiTree[MAXSIZE];
sqBiTree bt;

2、链式存储

typedef struct BiTNode{
TElemType data;
struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

三、二叉树的遍历

1、先序遍历

parent -> lchild -> rchild

void PostOrderTraverse(BiTree T){
if(T){
cout<<T->data;
PostOrderTraverse(T->lchild);
PostOrderTraverse(T->rchild);
}
}

2、中序遍历

2.1 递归操作

lchild -> parent -> rchild

void InOrderTraverse(BiTree T){
if(T){
InOrderTraverse(T->lchild);
cout<<T->data;
InOrderTraverse(T->rchild);
}
}

2.2 非递归操作

void InOrderTraverse(BiTree T){
InitStack(S); //初始化一个栈
p = T; 
q = new BiTNode;
while(p || !StackEmpty(S)){
if(p){
Push(S,p); //遍历结点p
p = p->lchild; //准备遍历结点p的左孩子
}
else{ //如果p的左孩子为空
Pop(S,q); //将栈顶元素pop出（p）
cout<<q->data; //输出该元素
p=q->rchild; //遍历p的右孩子
}
}
}

3、后序遍历

lchild -> rchild -> parent

void PreOrderTraverse(BiTree T){
if(T){
PreOrderTraverse(T->lchild);
PreOrderTraverse(T->rchild);
cout<<T->data;
}
}

给定一棵树的序列：BDCEAFHG，只能通过“先序和中序遍历” 或者 “后序和中序遍历” 获得树的结构。
“先序和后序遍历” 不能获得树的结构。

四、二叉树遍历算法的应用

1、利用先序遍历 创建 二叉树

//当输入为 '#' 时，表示输入结束。
void CreateBiTree(BiTree &T){
cin>>ch;
if(ch == '#'){T=NULL;}
else{
T=new BiTNode;
T->data = ch;
CreateBiTree(T->lchild);
CreateBiTree(T->rchild);
}
}

2、利用先序遍历 复制二叉树

//利用先序遍历 复制二叉树
void Copy(BiTree T,BiTree &NewT){
if(!T){
NewT = NULL;
return;
}
else{
NewT=new BiTNode;
NewT->data = T->data;
Copy(T->lchild,NewT->lchild);
Copy(T->rchild,NewT->rchild);
}
}

3、计算二叉树的深度

int Depth(BiTree T){
if(!T){return 0;}
else{
m = Depth(T->lchild);
n = Depth(T->rchild);
if(m>n){return (m+1);}
else{return (n+1);}
}
}

4、统计二叉树中结点个数

int NodeCount(BiTree T){
if(!T){return 0;}
else{
m = NodeCount(T->lchild);
n = NodeCount(T->rchild);
return (m+n+1);
}
}

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参考资料：《数据结构》 严蔚敏