hdu 5492 Find a path (DP)

最新推荐文章于 2019-11-18 19:56:01 发布

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本文探讨了在给定矩阵中从起点到终点的路径问题，通过计算路径和与序列平均值的关系，利用动态规划算法找到最小化特定公式的结果。详细介绍了状态转移方程、初始化条件和最终解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：给N*M(1<=N，M<=30)的矩阵，矩阵的每一格有一个非负权值(<=30)

从(1，1)出发，每次只能向右或向下移动，到达(n，m)时，经过的格子的权值形成序列A，

求(N+M−1)∑N+M−1i=1(Ai−Aavg)2

的最小值。

将式子展开后，化简整理可得：(N+M-1)*s1-s2。其中s1是序列A的平方和，s2是序列A的和的平方。

注意到序列A的和不会超过(30+30-1)*30。

设dp[i][j][k]表示到达(i，j)，序列和为k时，序列的平方和的最小值。

那么很容易得到状态转移方程，对于向右走，有：dp[i][j+1][k+V[i][j+1]]=min(dp[i][j+1][k+V[i][j+1]],dp[i][j][k]+V[i][j+1]*V[i][j+1])，V[i][j]为（i，j）的值，类似地，可得到向下走的状态转移方程。

最终，枚举(n+m-1)*dp[n][m][k]-k^2，0<=k<=59*30，取最小值即为答案。

注意dp的初始化，枚举序列A的和的时候，有些和是不会出现的，即有些状态是无法到达的。因此将dp全部初始化为inf，第(1,1)格的值初始化为V[1][1]^2，然后求解各个状态的值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
int V[30][30],dp[30][30][1800];
int main()
{
    int ca=1,T,i,j,k,n,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(i=0;i<n;++i)
            for(j=0;j<m;++j) scanf("%d",&V[i][j]);
        printf("Case #%d: ",ca++);
        memset(dp,inf,sizeof(dp));
        dp[0][0][V[0][0]]=V[0][0]*V[0][0];
        for(i=0;i<n;++i)
            for(j=0;j<m;++j)
            {
                if(i+1<n){
                    for(k=0;k<=59*30;++k)
                        if(dp[i][j][k]!=inf)
                            dp[i+1][j][k+V[i+1][j]]=min(dp[i+1][j][k+V[i+1][j]],dp[i][j][k]+V[i+1][j]*V[i+1][j]);
                }
                if(j+1<m){
                    for(k=0;k<=59*30;++k)
                        if(dp[i][j][k]!=inf)
                            dp[i][j+1][k+V[i][j+1]]=min(dp[i][j+1][k+V[i][j+1]],dp[i][j][k]+V[i][j+1]*V[i][j+1]);
                }
            }
        int ans=inf;
        for(i=0;i<=59*30;++i)
            if(dp[n-1][m-1][i]!=inf)
                ans=min(ans,(n+m-1)*dp[n-1][m-1][i]-i*i);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}