HDU 5290 Bombing plan（树形DP）

最新推荐文章于 2024-05-22 17:32:19 发布

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#HDU #2015多校联合训练1 #树形DP

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本文介绍了一种使用树形动态规划解决特定染色问题的方法。该问题要求找到最少的点数，使得通过这些点及其权重范围内染色能覆盖整棵树的所有节点。文章详细解析了状态定义、状态转移方程，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意给定n个点的树，每个点有一个点权wi, 每次选一个点u，则树上u和距离u wi范围内的所有点都会被染色。

问：最少选几个点使得n个点都被染色。

思路：树形DP。这道题无论是从思路还是实现都有点难度。

首先用dp[i][j]表示以i为根的子树的点全被染色且可以从i点向上再染j个距离的最小值，

用f[i]][j]表示以i为根的子树在距离i为j处的有子孙节点未被染色且距离超过j的子孙节点均被染色的最小值。

那么可以得到三个状态转移方程：

1.i点不染色。

dp[i][j] = min( dp[u][j+1] + sigma( min( dp[v][0,1,2...j+1], f[v][0,1,2...j-1] ) ) )

f[i][j] = min( f[u][j-1] + sigma( min( dp[v][0,1,2...j], f[v][0,1,2...j-1] ) ) )

2.i点染色

dp[i][w[i]] = min( dp[i][w[i]], sigma(dp[u][0,1,2...w[i]+1], f[u][0,1...w[i]-1])+1 )

其中u，v为i的儿子节点。

这样看起来还是很麻烦，我们稍微化简一下，

用数组mindp[i][j]表示dp[i][0]到dp[i][j]的最小值，

用数组minf[i][j]表示f[i][0]到f[i][j]的最小值，

那么原来的状态转移方程可以改写为（以第一个为例）

dp[i][j] = min( dp[u][j+1] + sigma( min( mindp[v][j+1],minf[v][j-1] ) ) )

再预处理一下，用sumdp[i][j]表示i结点儿子的sigma( min( mindp[v][j+1],minf[v][j-1] ))值，sumf类似

于是就可以以O(n*100)的复杂度得出答案。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#define eps 1e-6
#define LL long long
#define pii pair<int, int>
#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;

const int MAXN = 100100;
const int INF = 1000000;
int n, w[MAXN];
int dp[MAXN][102], f[MAXN][102];
int mindp[MAXN][102], minf[MAXN][102], sumdp[MAXN][102], sumf[MAXN][102]; 
vector<int> G[MAXN];
void dfs(int cur, int fa) {
	for(int i = 0; i <= 101; i++) dp[cur][i] = f[cur][i] = mindp[cur][i] = minf[cur][i] = INF;
	int sz = G[cur].size();
	for(int i = 0; i < sz; i++) {
		int u = G[cur][i];
		if(u == fa) continue;
		dfs(u, cur);
		sumdp[cur][0] += mindp[u][1];
		sumf[cur][0] += mindp[u][0];
		for(int j = 1; j <= 100; j++) {
			sumdp[cur][j] += min(mindp[u][j+1], minf[u][j-1]);
			sumf[cur][j] += min(minf[u][j-1], mindp[u][j]);
		}	
	}
	f[cur][0] = sumf[cur][0];
	for(int i = 0; i < sz; i++) {
		int u = G[cur][i];
		if(u == fa) continue;
		dp[cur][0] = min(dp[cur][0], dp[u][1]+sumdp[cur][0]-mindp[u][1]);
		for(int j = 1; j <= 100; j++) {
			dp[cur][j] = min(dp[cur][j], dp[u][j+1]+sumdp[cur][j]-min(mindp[u][j+1], minf[u][j-1]));
			f[cur][j] = min(f[cur][j], f[u][j-1]+sumf[cur][j]-min(minf[u][j-1], mindp[u][j]));
		}
	}
	dp[cur][w[cur]] = min(dp[cur][w[cur]], sumdp[cur][w[cur]]+1);
	mindp[cur][0] = dp[cur][0];
	minf[cur][0] = f[cur][0];
	for(int i = 1; i <= 100; i++) {
		mindp[cur][i] = min(dp[cur][i], mindp[cur][i-1]);
		minf[cur][i] = min(f[cur][i], minf[cur][i-1]);
	}
}
void init() {
	memset(sumdp, 0, sizeof(sumdp));
	memset(sumf, 0, sizeof(sumf));
	for(int i = 1; i <= n; i++) G[i].clear(); 
}
int main() {
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
	while(cin >> n) {
		init();
		for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &w[i]);
		for(int i = 1, u, v; i < n; i++) {
			scanf("%d%d", &u, &v);
			G[u].push_back(v);
			G[v].push_back(u); 
		}
		dfs(1, 0);
		int ans = INF;
		for(int i = 0; i <= 100; i++) ans = min(ans, dp[1][i]);
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}