HDU 1695 GCD（莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2021-03-21 18:31:13 发布

原创最新推荐文章于 2021-03-21 18:31:13 发布 · 624 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#莫比乌斯反演 #HDU1695

莫比乌斯反演专栏收录该内容

9 篇文章

订阅专栏

本文详细介绍了如何利用莫比乌斯反演技术优化容斥原理，解决数论问题中的对数值计算，通过简化公式和降低复杂度，实现高效求解。文中提供了一个具体的例子，展示如何快速计算满足特定条件的数对数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原来用容斥写过一次，用莫比乌斯写明显快多了。

莫比乌斯反演：
设 $f(d)$ 代表满足 $d = gcd(x,y)$ 的 $(x,y)$ 的对数。
设 $F(d)$ 代表满足 $d|gcd(x,y)$ 的 $(x,y)$ 的对数。
我们可以得到：
$F(n)=\sum_{n|d}{f(d)}$
由莫比乌斯反演得到：
$f(n)=\sum_{n|d}{\mu(\frac{n}{d})*F(d)}$
$\mu(x)$ 线筛 $o(n)$ 复杂度搞定。
由定义可知：对于 $F(d)$ ， $d|gcd(x,y)\implies{d|x,d|y}$ ，那么 $F(d)=\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor*\lfloor\frac{m}{d}\rfloor$
在本题中，因为 $gcd(x,y)$ 与 $gcd(y,x)$ 算一对。
所以 $F(d)=\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor*\lfloor\frac{m}{d}\rfloor-\frac{\lfloor{\frac{min(n,m)}{d}}\rfloor*\lfloor{\frac{min(n,m)}{d}}\rfloor-\lfloor{\frac{min(n,m)}{d}}\rfloor}{2}$
$f(x)=\sum_{x|d}{\mu(\frac{n}{d})*(\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor*\lfloor\frac{m}{d}\rfloor-\frac{\lfloor{\frac{min(n,m)}{d}}\rfloor*\lfloor{\frac{min(n,m)}{d}}\rfloor-\lfloor{\frac{min(n,m)}{d}}\rfloor}{2})}$
此时要算 $f(x)$ 只需要 $o(n)$ 复杂度即可。

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define FOR(i,x,y)  for(int i = x;i < y;++ i)
#define IFOR(i,x,y) for(int i = x;i > y;-- i)

using namespace std;

const int maxn = 100010;
int mu[maxn],prime[maxn];
bool check[maxn];

void Mobius(){
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    prime[0] = 0;
    FOR(i,2,maxn){
        if(!check[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1;j <= prime[0];++ j){
            if(i*prime[j] >= maxn)   break;
            check[i*prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0){
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else{
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

int a,l,b,r,k;

void work(){
    if(!k)  {printf("0\n");return;}
    LL ans = 0;
    int mx = min(l,r);
    for(int i = k;i <= mx;i += k){
        ans += mu[i/k]*((LL)(l/i)*(LL)(r/i)-((LL)(mx/i)*(LL)(mx/i)-(LL)(mx/i))/2);
    }
    printf("%I64d\n",ans);
}

int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    int T,tCase = 0;  scanf("%d",&T);
    Mobius();
    while(T--){
        printf("Case %d: ",++tCase);
        scanf("%d%d%d%d%d",&a,&l,&b,&r,&k);
        work();
    }
    return 0;
}