[快速幂 NTT + 最短路] ICPC 2016 China Final I. Cherry Pick

最新推荐文章于 2024-05-27 20:30:19 发布

里阿奴摩西

最新推荐文章于 2024-05-27 20:30:19 发布

阅读量766

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： FFT&FWT 最短路

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u014609452/article/details/68058739

最短路同时被 2 个专栏收录

24 篇文章

订阅专栏

FFT&FWT

20 篇文章

订阅专栏

探讨在有限条件下使用不同面额的硬币购买樱桃的概率问题，通过数学和算法求解最优期望花费。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

你有 $m$ 种面值的硬币，分别为 $c_1,…,c_m$ ，每种有无限张。
你去摘 $n$ 个樱桃，每个樱桃都有 $p$ 的概率摘下来。
你要要用你的硬币把你摘了的樱桃给买下来，每个樱桃需要 $1$ 元钱，但是不能找钱。
问最好的情况下你期望要多花多少钱。
答案对10^9+7取模。
$n\leq1e9, m\leq100, ci\leq1e4$ , 且若 $i≠j$ ，有 $ci*cj\leq1e4$ 。

dls实在是太强啦

这里写图片描述

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define cl(x) memset(x,0,sizeof(x))
using namespace std;
typedef long long ll;

inline char nc(){
  static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
  return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline void read(int &x){
  char c=nc(),b=1;
  for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
  for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}

const int MAX=20000;
const int N=105;
const int P=1e9+7;

int C;

namespace MMP{
  const int P=1e9+7;
  const int M[]={998244353,1004535809,469762049};
  const int G[]={3,3,3};
  const ll _M=(ll)M[0]*M[1];
  inline ll Pow(ll a,int b,int p){
    ll ret=1; for (;b;b>>=1,a=a*a%p) if (b&1) ret=ret*a%p; return ret;
  }
  inline ll mul(ll a,ll b,ll p){
    a%=p; b%=p; return ((a*b-(ll)((ll)((long double)a/p*b+1e-3)*p))%p+p)%p;
  }
  const int m1=M[0],m2=M[1],m3=M[2];
  const int inv1=Pow(m1%m2,m2-2,m2),inv2=Pow(m2%m1,m1-2,m1),inv12=Pow(_M%m3,m3-2,m3);
  inline int CRT(int a1,int a2,int a3){
    ll A=(mul((ll)a1*m2%_M,inv2,_M)+mul((ll)a2*m1%_M,inv1,_M))%_M;
    ll k=((ll)a3+m3-A%m3)*inv12%m3;
    return (k*(_M%P)+A)%P;
  }

  const int N=100005;
  struct NTT{
    int P,G;
    int num,w[2][N];
    int R[N];
    void Pre(int _P,int _G,int m){
      num=m; P=_P; G=_G;
      int g=Pow(G,(P-1)/num,P);
      w[1][0]=1; for (int i=1;i<num;i++) w[1][i]=(ll)w[1][i-1]*g%P;
      w[0][0]=1; for (int i=1;i<num;i++) w[0][i]=w[1][num-i];
      int L=0; while (m>>=1) L++;
      for (int i=1;i<=num;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
    }
    void FFT(int *a,int n,int r){
      for (int i=0;i<n;i++) if (i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
      for (int i=1;i<n;i<<=1)
    for (int j=0;j<n;j+=(i<<1))
      for (int k=0;k<i;k++){
        int x=a[j+k],y=(ll)a[j+i+k]*w[r][num/(i<<1)*k]%P;
        a[j+k]=(x+y)%P; a[j+i+k]=(x+P-y)%P;
      }
      if (!r) for (int i=0,inv=Pow(n,P-2,P);i<n;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%P;
    }
  }ntt[3];

  int n,m;
  inline void Init(int _n){
    n=_n;
    for (m=1;m<=2*(n-1);m<<=1);
    for (int i=0;i<3;i++) ntt[i].Pre(M[i],G[i],m);
  }

  int _a[3][N],C[N],D[N],A[N],B[N];

  struct Poly{  
    int a[N];  
    Poly() { cl(a); }
    int& operator [] (const int x) { return a[x]; }  
    Poly& operator *=(const Poly &B){
      for (int i=0;i<3;i++){
    memcpy(C,a,sizeof(int)*(m+5)); memcpy(D,B.a,sizeof(int)*(m+5));
    ntt[i].FFT(C,m,1); ntt[i].FFT(D,m,1);
    for (int j=0;j<m;j++) C[j]=(ll)C[j]*D[j]%ntt[i].P;
    ntt[i].FFT(C,m,0);
    for (int j=0;j<m;j++) _a[i][j]=C[j];
      }
      for (int i=0;i<(::C);i++) a[i]=0;
      for (int i=0;i<m;i++) (a[i%(::C)]+=CRT(_a[0][i],_a[1][i],_a[2][i]))%=P;
    }  
    friend Poly Pow(Poly a,ll b){  
      Poly ret; ret[0]=1;  
      for (;b;b>>=1,a*=a)  
    if (b&1)  
      ret*=a;  
      return ret;  
    }  
  };
}

ll inv[MAX+5];

inline void Pre(int n){
  inv[1]=1; for (int i=2;i<=n;i++) inv[i]=(ll)(P-P/i)*inv[P%i]%P;
}
inline ll Pow(ll a,int b){
  ll ret=1; for (;b;b>>=1,a=a*a%P) if (b&1) ret=ret*a%P; return ret;
}

struct PP{
  int a[N];
  PP(){ cl(a); }
  int &operator [](int x){ return a[x]; }
  friend PP operator * (PP &A,PP &B){
    PP ret;
    for (int i=0;i<C;i++)
      for (int j=0;j<C;j++)
    (ret[(i+j)%C]+=(ll)A[i]*B[j]%P)%=P;
    return ret;
  }
  friend PP Pow(PP a,int b){
    PP ret; ret[0]=1;
    for (;b;b>>=1,a=a*a)
      if (b&1)
    ret=ret*a;
    return ret;
  }
};

int n,m,p,K;
int c[N];

int cost[N],dis[N],vst[N];
int w[N][N];

inline void Dij(){
  for (int i=0;i<C;i++) dis[i]=1<<29,vst[i]=0;
  dis[0]=0;
  for (int i=1;i<C;i++){
    int k=-1;
    for (int j=0;j<C;j++)
      if (!vst[j] && (k==-1 || dis[j]<dis[k]))
    k=j;
    vst[k]=1;
    for (int j=0;j<C;j++)
      dis[j]=min(dis[j],dis[k]+w[k][j]);
  }
}

ll Ans,CC[MAX+5];
int tag[MAX+5],Cost[MAX+5];

inline void Calc(int K){
  ll t=1; CC[0]=t*Pow(100-::p,n)%P;
  for (int i=1;i<=K;i++){
    t=t*(n-i+1)%P*inv[i]%P;
    CC[i]=t*Pow(100-::p,n-i)%P*Pow(::p,i)%P;
  }
  cl(tag); int m=(K/C+1)*C;
  for (int i=0;i<C;i++)
    for (int j=dis[i];j<=m;j+=C)
      tag[j]=1;
  int last;
  for (int i=m;~i;i--){
    if (tag[i]) last=i;
    Cost[i]=last-i;
  }
}

int main(){
  freopen("t.in","r",stdin);
  freopen("t.out","w",stdout);
  int T,Case=0;
  read(T); Pre(MAX);
  while (T--){
    read(n); read(m); read(p);
    for (int i=1;i<=m;i++) read(c[i]);
    sort(c+1,c+m+1);
    C=c[1];
    if (m==1 && C>100){
      MMP::Init(C);
      MMP::Poly a; a[0]=100-p,a[1]=p;
      a=Pow(a,n);
      Ans=0;
      for (int i=0;i<C;i++)
    Ans+=(ll)a[i]*((C-i)%C)%P;
      printf("Case #%d: %I64d\n",++Case,Ans%P);
      continue;
    }
    K=c[m];
    for (int i=1;i<=m;i++) for (int j=i+1;j<=m;j++) K=max(K,c[i]*c[j]);
    K=min(K,n);
    for (int i=0;i<C;i++) for (int j=0;j<C;j++) w[i][j]=i==j?0:1<<29;
    for (int i=2;i<=m;i++)
      for (int j=0;j<C;j++)
    w[j][(j+c[i])%C]=min(w[j][(j+c[i])%C],c[i]);
    Dij();
    for (int i=0;i<C;i++){
      int t=i; while (t<C && dis[t]==1<<29) t++;
      cost[i]=t-i;
    }
    PP a; a[0]=100-p,a[1]=p;
    a=Pow(a,n);
    Ans=0;
    for (int i=0;i<C;i++)
      Ans+=(ll)cost[i]*a[i]%P;

    Calc(K);
    for (int i=0;i<=K;i++)
      Ans+=(ll)CC[i]*(Cost[i]+P-cost[i%C])%P;
    printf("Case #%d: %I64d\n",++Case,Ans%P);
  }
  return 0;
}