对齐次矩阵（homogeneous matrix）的理解

最新推荐文章于 2025-07-01 00:18:58 发布
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#齐次矩阵

本文通过知乎上的回答和博客解析，介绍了齐次坐标的使用背景及其在计算机图形学中的重要作用，特别是如何利用n+1维向量来表示n维空间中的点，并解释了这种表示方法对于进行仿射变换的优势。

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看了知乎Yu Mao的回答和Bigcoder的解释才对齐次矩阵有了深刻的理解，当你刚接触时你可能会想：为什么要用n+1维向量来代表n维向量呢？

“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR

详见上述博客

单应性矩阵的理解及求解
qq_40851561的博客
06-30 4212
转自 ：https://blog.youkuaiyun.com/liubing8609/article/details/85340015 其他资料： 从零开始学习「张氏相机标定法」（一）相机成像模型 单应性在计算机视觉中的应用 单应性在计算机视觉领域是一个非常重要的概念，它在图像校正、图像拼接、相机位姿估计、视觉SLAM等领域有非常重要的作用。 1.图像校正 用单应矩阵进行图像矫正的例子如下图所示，最少需要四个对应点对（后面会给出原因）就可以实现。 2. 视角变换 单应矩阵用于视角变换的例子如下图所示，可以方便地将左
基于ICP算法计算点集之间的变换矩阵（旋转、平移）
黎国溥
11-19 5653
前言 本文主要是计算两个激光雷达之间的变换矩阵，即计算两组点云之间的变换矩阵。其中处理的点云数据主要是由x,y,z,intensity组成的，代表空间位置x,ry,z 和每个点云对应的反射强度intensity； 这里计算点集之间的变换矩阵，用到每个点云的x,y,z信息，可表示为n*3的数组；两组激光雷达点云，可以表示为2和n*3的数组。 首先使用ICP点云匹配算法，计算两组点云之n*3的数组间对应的点；然后基于SVD算法求出两个对应点集合的旋转矩阵R和转移矩阵t。 一、基于ICP匹配对应点
4*4（齐次）矩阵
aikb6223的博客
12-22 8141
4*4矩阵一般也叫齐次矩阵,主要有两个作用，描述平移变换，描述透视投影变换 4*4平移矩阵 3*3矩阵可以用来旋转，缩放坐标系，但不能移动坐标系 需要在4维空间切变实现3维平移(比较容易理解的是在3维空间实现2维平移) 而4*4平移矩阵不会影响旋转，缩放功能，所以4*4矩阵能包含旋转，缩放，平移坐标系功能 4D向量中w分量能“开关”4*4矩阵的平...
齐次矩阵
weixin_33720078的博客
05-05 679
占坑
等价矩阵 线性代数
2403_83073833的博客
07-01 198
A和B等价就是求A和B的秩，其实就是要求B的秩了，因为目标已经告诉你了A和B的秩是一样的。那么怎么求B的秩呢？我们现在只有一种方法求其秩，就是通过把其经过初等变换之后符合标准形，然后再求r。求完 r 之后把A也化成标准形，然后根据我们之前求出的r来算a。第二问就是把A通过一系列转换变成B，其中的初等变换矩阵乘完之后就是变成B的P。所谓等价矩阵，就是说其秩相同的矩阵。
齐次矩阵的概念
LoveXming的博客
03-21 711
矩阵 齐次矩阵 旋转 平移
齐次矩阵的理解深入和在图形学、Unity中的应用
sumaliqinghua的博客
01-21 3797
理解齐次坐标和矩阵的使用，是成为一名出色的图形程序员和Unity开发者的关键。它们不仅仅是干燥的数学概念，而是打开图形学和3D编程宝库的钥匙。通过本文的阅读，希望你能够对齐次矩阵在图形学和Unity中的应用有了更加深入的理解，并能够将这些知识应用到实际的项目中，创造出更加精彩的3D世界！
小测验——数据集中的相机参数与自己投影文件的格式对齐
河海大学研究生在读的学习笔记
04-09 99
小测验——数据集中的相机参数与自己投影文件的格式对齐
013-3D数学：缩放矩阵、正交投影与透视投影详解及实例
小宝哥Code的专栏
05-18 713
本文详细介绍了3D图形学中的核心概念：缩放矩阵、正交投影和透视投影。缩放矩阵用于调整物体大小，支持均匀和非均匀缩放、反射及围绕特定点的缩放操作。正交投影保持平行线的平行性，适用于工程制图和2D渲染；透视投影模拟人眼视觉，具有近大远小的特性，广泛应用于3D游戏和虚拟现实。文章通过代码实例展示了如何构建这些矩阵，并探讨了它们在相机系统、多视图渲染、立体视觉及高级渲染效果（如阴影映射和反射）中的应用。此外，还介绍了透视校正插值和视锥体裁剪等关键技术，为3D图形编程和游戏开发提供了坚实的数学基础。
UG\NX二次开发 多少词汇量才能无障碍阅读开发帮助
王牌飞行员_里海的博客
04-24 2532
大家都知道UFUN的帮助是英文的，有的开发者抱怨看不懂，还有的开发者为了能看懂接口说明专门学英语，那么英语学成什么程度就能无障碍阅读接口文档？我比较好奇，所以专门将UF_MODL部分的ufun函数的接口说明，提取出单词以作统计。大家猜一猜无障碍阅读UF_MODL部分的内容，需要多少词汇量储备呢？
矩阵-齐次矩阵
Fatestay_DC的专栏
06-08 5860
1.正交矩阵 一个矩阵为正交矩阵，就不需要求逆矩阵，直接使用正交矩阵作为逆矩阵进行变换运算。施密特正交化。 2.3X3矩阵扩展为4X4齐次矩阵 最后一行表示矩阵的平移 线性变换+平移 class Vector3; class Matrix4X3 { public: float m11, m12, m13; float m21, m22, m23; float m31, m32, m33; float tx, ty, tz; void SetRotate(int x, float thet
齐次坐标和齐次矩阵
ZGJ_Vampire的博客
05-25 2823
在里，讲到了一些基本的几何变换，其中旋转、缩放属于线性变换，都能写成的形式。而平移属于（经过一次线性变换，再进行一次平移），需要写成的形式。那么能不能把上面的线性变换和仿设变换用同一种形式来表示呢？为了实现这个目标，就需要用到齐次坐标和齐次矩阵。下面主要针对二维空间的齐次坐标和齐次矩阵进行说明，在三维中情况类似。
Homography matrix（单应矩阵）简介
T_C_Ko的博客
12-04 8594
单应矩阵homography matrix的基础简介，包括homogeneous坐标系，homography简单的数学过程以及RANSAC算法应用。不涉及详细的证明过程和最先进的技术。
3d计算机数学笔记(1) 齐次矩阵与透视投影
zsq306650083的专栏
01-26 2804
本文目录结构: 1.什么是齐次矩阵 2.齐次矩阵在透视投影上的运用 1.什么是齐次矩阵 01.齐次空间 所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。例如，二维点(x,y)的齐次坐标表示为(hx,hy,h)。由此可以看出，一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标(8,4,2)、(4,2,1)表示的都是二维点(4
4x4 齐次矩阵
u012338130的专栏
12-17 931
机器人学--第二讲-齐次变换矩阵
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agentky的博客
05-24 2万+
比例因子 w为比例因子，可以对向量得长度进行缩放，0时为方向向量 齐次变换矩阵 nx ny nz 为运动坐标系中三个轴对应 得单位方向向量在参考坐标系中投影，Px,Py,Pz.为坐标原点在参考系中得位置。单位方向向量模长为1，两两正交 齐次变换矩阵T 纯平移 绕轴纯旋转 相当于把一个在R坐标系中得向量通过左乘一个旋转矩阵转化到U坐标系下 ...
齐次变换矩阵
waylon
01-11 8405
机器人中齐次变换阵（4*4的矩阵）： 这个解释一般形式： 齐次变换矩阵可以用作： （1）描述坐标系，表示坐标系B在坐标系A中的描述。左上角3*3的旋转矩阵。 （2）用作变换映射：将B中的矢量在A中表示。 （3）变换算子：A中的矢量平移和旋转。 ...
matrix4
最新发布
07-16
在IT领域中，**Matrix4**（或称作 4×4 矩阵）是一种常用于三维图形学、计算机视觉和游戏开发中的数学工具。它主要用于表示和执行三维空间中的线性变换，例如旋转、缩放以及平移操作。由于其结构特性，Matrix4 可以将多种变换组合到一个矩阵中，并通过矩阵乘法高效地应用这些变换[^4]。 ### 结构 一个典型的 Matrix4 由 16 个数值组成，排列为 4 行 4 列的形式： $$ \begin{bmatrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03} \\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{bmatrix} $$ 其中，每个元素 $ m_{ij} $ 表示矩阵的第 $ i $ 行第 $ j $ 列值。这种形式允许对齐次坐标（Homogeneous Coordinates）进行运算，从而支持包括平移在内的完整仿射变换。 ### 应用场景 1. **三维图形渲染** - 在 OpenGL 或 DirectX 中，Matrix4 被广泛用于描述相机视图（View Matrix）、投影（Projection Matrix）和模型变换（Model Matrix）。这些矩阵结合后可用来计算物体在屏幕上的最终显示位置。 2. **动画与骨骼系统** - 在角色动画中，Matrix4 常用于定义骨骼的局部变换，并通过层次结构传播至整个模型，实现复杂的运动效果。 3. **物理引擎** - 物理模拟中，Matrix4 能够表示刚体的位置、方向和比例，便于碰撞检测和运动计算。 4. **机器人学与增强现实（AR）** - Matrix4 被用于描述设备或对象的空间姿态，例如 AR 设备中追踪摄像头的位置和方向。 ### 常见操作 - **矩阵乘法** - 两个 Matrix4 相乘可以合并多个变换。例如，先旋转再平移可以通过两个矩阵相乘得到一个新的复合矩阵。 ```cpp // 示例：C++ 中使用 Eigen 库进行矩阵乘法 Eigen::Matrix4f transform1, transform2; Eigen::Matrix4f combinedTransform = transform2 * transform1; // 注意顺序 ``` - **向量变换** - 将一个三维点或向量与 Matrix4 相乘，即可获得经过变换的新坐标。 ```cpp Eigen::Vector4f point(1.0f, 2.0f, 3.0f, 1.0f); // 齐次坐标 (x, y, z, w) Eigen::Vector4f transformedPoint = combinedTransform * point; ``` - **逆矩阵** - 逆矩阵可用于撤销某个变换。例如，从世界坐标系转换回本地坐标系时非常有用。 ### 特殊类型 - **单位矩阵** - 所有对角线元素为 1，其余为 0 的 Matrix4 是单位矩阵，任何矩阵与其相乘不会改变其值。 - **平移矩阵** - 用于表示沿 x、y、z 轴的位移，通常形式如下： $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$ - **旋转矩阵** - 绕特定轴旋转一定角度，具体形式取决于旋转轴（如 x、y、z）和旋转方式（欧拉角或四元数转换）。 - **缩放矩阵** - 控制物体在各轴上的放大或缩小，形式如下： $$ \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$ ### 性能优化 - **SIMD 加速** - 多数现代库利用 SIMD 指令集加速矩阵运算，提高实时渲染性能。 - **矩阵堆栈** - 在图形 API 中，矩阵堆栈（如 OpenGL 的 `glPushMatrix` 和 `glPopMatrix`）被用于保存和恢复变换状态，简化复杂场景管理。 综上所述，Matrix4 是 IT 技术中处理三维变换的核心工具之一，尤其在图形渲染、动画系统和物理模拟等领域扮演着不可或缺的角色[^4]。
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