R*树 分支定界法

本文介绍使用Dijkstra算法计算图中两点间最短路径的方法。通过预处理及分支定界策略,确保每次选择离终点最近且未访问的城市,以此优化路径。详细解释了如何维护优先队列并更新每个城市的预测最小值。

后续更。

先记下思路:
利用dijkstra算法来计算最短路径。
基于权值进行深度搜索。
记录每个城市到最终城市的预测的最小值。
以全部权值作为优先队列的内置函数量值。
预处理:每次选出离终点城市最近且未被访问的城市,依次计算每个城市经过该城市到达终点城市的距离,更新较小值。
分支定界:利用最优队列每次pop出一个最优下界的路径,对当前城市选择去往除自己之外的所有城市,符合边界条件则入队列。边界条件判断即为剪枝。
到达终点城市之后。该城市所走过的所有路径即为当前解的路径值。更新最优解的值。
路径:通过记录每个结点的父节点在结点向量中的下标来回溯路径。

### 分支定界法求解线性整数规划问题 #### 理论基础 分支定界法是一种用于解决离散优化问题特别是整数规划的有效方法。对于给定的线性整数规划问题 \( \text{BranchBound}(A, b, c) \),其中矩阵 \( A \in \mathbb{R}^{m\times n} \), 向量 \( b\in \mathbb{R}^m \) 和成本向量 \( c\in \mathbb{R}^n \)[^1]。 此方法的核心在于构建一棵搜索,在每一步中选择一个变量并将其分割成两个子节点,分别对应于该变量取0或1的情况(如果是二元决策)。随着的增长,会形成多个可行区域,这些区域代表不同的潜在解决方案路径[^2]。 为了提高效率,“定界”的概念被引入到算法设计当中。“定界”指的是利用已知的最佳目标函数值作为界限来剪枝那些不可能产生更优解的部分搜索空间,以此减少计算复杂度和时间消耗。 #### MATLAB实现示例 下面给出一段简单的MATLAB代码片段用来展示如何基于上述原理编写分支定界算法: ```matlab function [best_solution, best_value] = branch_and_bound(A, b, c) % 初始化参数 num_vars = length(c); lower_bounds = zeros(1,num_vars); upper_bounds = ones(1,num_vars); % 定义辅助函数以递归方式执行分治策略 function result = solve_subproblem(current_node) % 获取当前结点的信息... if is_integer_feasible(current_node.x) update_best_solution_if_better(current_node.value,current_node.x); return; end var_to_branch_on = choose_variable_for_branching(); left_child = create_left_child(var_to_branch_on); right_child = create_right_child(var_to_branch_on); prune_unpromising_children([left_child,right_child]); foreach child in promising_children do solve_subproblem(child); endforeach end initial_node = initialize_root_problem(num_vars,A,b,c); solve_subproblem(initial_node); end ``` 这段伪代码展示了分支定界的框架结构,具体细节如`is_integer_feasible()`, `choose_variable_for_branching()`等需要根据实际应用场景进一步定义和完善[^3]。
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