二分法求最大化平均值

使用二分法优化物品选择以最大化平均价值
该博客探讨了如何解决一个物品选择问题,目标是选取k个物品,使平均每单位重量的价值达到最大。通过二分法,可以有效地找到满足条件的最大平均值。文章介绍了问题的思路并提供了相应的代码实现。

有n个物品,每个物品分别对应一个重量和价值。要求选出k个,使得平均每单位重量的价值最大。

思路:

设k的集合是S ,使得平均值最大,即 Vs/Ws 最大。枚举答案x,Vs/Ws>=x,即 Vs – Ws*x>=0 成立。二分x即可。

代码:

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <ctype.h>
#include <time.h>
#include <queue>
#include <iterator>
#include <vector>
#include <set>

using namespace 
### 问题分析 题目要从一个长度为 `N` 的数组中找出一个长度至少为 `L` 的子数组,使得该子数组的几何平均值最大。几何平均值的计算方式是 `K` 个数的乘积的 `K` 次方根,其中 `K` 是子数组的长度。如果存在多个满足条件的子数组,应优先选择长度最小的子数组;若长度相同,则选择起始位置最小的子数组。 由于数组的长度可能很大(最多 `100000`),因此直接暴力枚举所有可能的子数组并计算其几何平均值的方式效率较低,无法在合理时间内完成。因此需要采用更高效的算法。 ### 算法设计 一种高效的解决方案是使用 **二分法** 和 **前缀和技巧** 来处理几何平均值问题。由于几何平均值的比较可以通过对数运算转化为算术平均值的问题,因此可以将问题转换为: - 对数组中的每个元素取自然对数(`log`),从而将几何平均值最大化的问题转化为对数后的算术平均值最大化的问题。 - 使用二分法确定一个候选的平均值 `mid_num`,判断是否存在一个长度至少为 `L` 的子数组,其平均值大于等于 `mid_num`。 - 如果存在这样的子数组,则说明 `mid_num` 可能是一个更小的候选值,因此调整二分法的下界;否则调整上界。 在找到最终的平均值后,再通过一次遍历确定满足条件的子数组的起始位置和长度。 ### Python 实现 以下是一个完整的 Python 实现,使用了二分法和前缀和技巧: ```python import sys import math def find_max_geometric_subarray(nums, L): N = len(nums) # 将原数组转换为自然对数形式 log_nums = [math.log(x) for x in nums] # 前缀和数组 prefix = [0.0] * (N + 1) for i in range(N): prefix[i + 1] = prefix[i] + log_nums[i] # 二分法查找最大平均值 left, right = min(log_nums), max(log_nums) eps = 1e-9 # 控制精度 def check(mid): # 检查是否存在长度 >= L 的子数组,其平均值 >= mid min_prefix = 0 for i in range(1, N + 1): cur = prefix[i] - mid * i if i >= L: # 比较当前值与之前最小的 prefix[i - L] - mid * (i - L) if cur - min_prefix >= 0: return True min_prefix = min(min_prefix, prefix[i - L] - mid * (i - L)) return False # 二分查找最大平均值 for _ in range(100): # 由于精度要,使用固定次数迭代 mid = (left + right) / 2 if check(mid): left = mid else: right = mid # 找到最终的平均值后,确定子数组的起始位置和长度 max_avg = left prefix_avg = [0.0] * (N + 1) for i in range(N): prefix_avg[i + 1] = prefix_avg[i] + nums[i] # 枚举所有长度 >= L 的子数组,找到最大几何平均值的子数组 best_start, best_len = 0, L max_avg_value = 0 for start in range(N): for end in range(start + L - 1, N): length = end - start + 1 total = prefix_avg[end + 1] - prefix_avg[start] avg = total ** (1 / length) if avg > max_avg_value or (abs(avg - max_avg_value) < eps and (length < best_len or (length == best_len and start < best_start))): max_avg_value = avg best_start = start best_len = length return best_start, best_len ``` ### 使用示例 假设输入数组为 `[1, 3, 2]`,且 `L = 2`,可以调用函数如下: ```python nums = [1, 3, 2] L = 2 start, length = find_max_geometric_subarray(nums, L) print(f"起始位置: {start}, 长度: {length}") ``` ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:二分法的时间复杂度为 `O(log(max_precision) * N)`,其中 `max_precision` 是所需的精度,通常迭代约 `100` 次即可满足要。最终遍历所有子数组的时间复杂度为 `O(N^2)`,但在实际应用中可以通过优化减少计算量。 - **空间复杂度**:主要使用了前缀和数组,空间复杂度为 `O(N)`。 ### 总结 该算法通过将几何平均值问题转换为对数空间的算术平均值问题,结合二分法和前缀和技巧,实现了高效的查找过程。在最终确定子数组时,通过枚举所有可能的子数组来满足题目中关于长度和起始位置的要
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