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递归求解排列组合问题

最新推荐文章于 2016-08-22 10:28:53 发布

原创最新推荐文章于 2016-08-22 10:28:53 发布 · 447 阅读

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#快速幂 #数学 #快速乘法

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本文探讨了一种使用递推方法解决排列组合问题的技术，具体应用在特定条件下的排列计数。通过构建递推公式，作者展示了如何利用快速幂和快速乘法技巧有效地计算结果。文章详细解释了算法实现过程，并提供了关键代码片段作为实例。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5187

题意：对1~n的全部排列{a[1],…,a[n]}中，求共有多少种排列满足如下两个条件。存在一个整数i（1≤i≤n）

a[1],a[2],…,a[i]为单调递增或单调递减
a[i],a[i+1],…,a[n]为单调递减或单调递增

思路：利用递推来求最后结果。假设x[n]表示n个数时的种数为x[n]种。那么x[n+1]可以由x[n]递推而来。首先，对于n个数来说，条件中的i可以存在于1~n的任何位置。那么将这些位置分为2类。

i=1 和 i=n
1 < i < n

那么若要求x[n+1]，则需将n+1这个数填到序列中。

对于第一类，n+1有3个位置可以填，因为第一类此时的情况是1~n是单调的一个序列，所以可以填在n的左右，也可以填在1的旁边(非1和2中间)
对于第二类，n+1有2个位置可以填，可以填在i的左右。

所以得递推式

x[n+1] = ( x[n] - 2 ) * 2 + 2 * 3 = 2 * x[n] + 2

( x[n+1] + 2 ) = 2 * ( x[n] + 2 )

x[n] = 2^n - 2 ( n > 1 )

利用快速幂求得结果。注意快速幂中两个数分别取余后相乘仍会暴数据，所以需要用快速乘法。Ex. a * b 可以看作a个b相加，类似快速幂，做快速乘法。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <stack>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cassert>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=2222;
const int INF=0x7fffffff;
const int mod=1e7+7;
#define LSON l,m,rt<<1
#define RSON m+1,r,rt<<1|1
#define ESP 1e-7

ll n,p;

ll qa(ll a, ll b) {//快速乘法
    ll ans=0;
    while(b) {
        if(b&1)
            ans=(ans+a)%p;
        a=(a+a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

ll qm() {//快速幂
    ll ans=1,a=2;
    while(n) {
        if(n&1)
            ans=(qa(ans, a))%p;
        a=(qa(a, a))%p;
        n>>=1;
    }
    return ans%p;
}

int main() {
    while(scanf("%lld%lld", &n, &p)!=EOF) {
        if(n==1) printf("%lld\n", n%p);
        else {
            ll k=qm()-2;
            while(k<0) k+=p;
            printf("%lld\n", k);
        }
    }
    return 0;
}