条件概率与贝叶斯公式-优快云博客

本文详细介绍了条件概率的概念及计算方法，并通过实例解析了全概率公式与贝叶斯公式的应用。通过具体案例，展示了如何利用这些概率工具解决实际问题。

条件概率

设A、B是两个事件，且 $P(A)>0$ ，称

P (B | A) = P ( A B ) P ( A )

$P(B|A)={P(AB)\over P(A)}$ 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
同理可得

P(B)>0 $P(B)>0$ ，

P (A | B) = P ( A B ) P ( B )

$P(A|B)={P(AB)\over P(B)}$ 为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。

乘法公式

设 $P(B)>0$ ，则有 $P(AB)=P(A|B)P(B)$ ，
推广：设 $A_1,A_2,A_3$ 为事件，且 $P(A_1A_2)>0$ ，则有

P (A 1 A 2 A 3) = P (A 1) P (A 2 | A 1) P (A 3 | A 1 A 2)

$P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)$
推广：设

A1,A2,A3⋯An $A_1,A_2,A_3\cdots A_n$ 为

n $n$ 个事件，

n≥2 $n\ge2$ 且

P(A1A2⋯An−1)>0 $P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0$ ，则有

P (A 1 A 2 \dots A n) = P (A 1) P (A 2 | A 1) P (A 3 | A 1 A 2) \cdot \times P (A n - 1 | A 1 A 2 A 3 \dots A n - 2) P (A n | A 1 A 2 \dots A n - 1)

$P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdot \times P(A_{n-1}|A_1A_2A_3\cdots A_{n-2})P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})$

全概率公式

设实验 $E$ 的样本空间为 $S$ ， $A$ 为 $E$ 的事件， $B_1、B_2、\cdots B_n$ 为 $S$ 的一个划分，且 $P(B_i)>0(i=1,2,3\cdots n)$ ，则

P (A) = P (A | B 1) P (B 1) + P (A | B 2) P (B 2) + \dots + P (A | B n) P (B n) = \sum i = 1 n P (A | B i) P (B i)

$P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots +P(A|B_n)P(B_n)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)$

贝叶斯公式

设实验 $E$ 的样本空间为 $S$ ， $A$ 为 $E$ 的事件， $B_1、B_2、\cdots B_n$ 为 $S$ 的一个划分，且 $P(A)>0，P(B_i)>0(i=1,2,3\cdots ,n)$ ，则

P (B i | A) = P ( A | B i ) P ( B i ) \sum n j = 1 P ( A | B j ) P ( B j ) ， i = 1, 2 \dots n

$P(B_i|A) = {P(A|B_i)P(B_i)\over \sum _{j=1}^n P(A|B_j) P(B_j)}，i=1,2\cdots n$

例：有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球。
（1）某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。
（2）某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自 1号罐的概率。
解：记

Bi={球取自i号罐}，i=1,2,3；A={取得红球} $B_i=\{球取自i号罐\}，i=1,2,3；A=\{取得红球\}$ ，由全概率公式可得：

P (A) = \sum i = 1 3 P (A | B i) P (B i) = 1 3 \times 2 3 + 1 3 \times 3 4 + 1 3 \times 2 4 \approx 0.69 。

$P(A)=\sum_{i=1}^3P(A|B_i)P(B_i)={1\over 3}\times {2\over 3}+{1\over 3}\times {3\over 4}+{1\over 3}\times {2\over 4}\approx 0.69。$
（2）由贝叶斯公式可得：

P (B 1 | A) = P ( A | B 1 ) P ( B 1 ) \sum 3 i = 1 P (A | B i) P (B i) = 1 3 \times 2 3 1 3 \times 2 3 + 1 3 \times 3 4 + 1 3 \times 2 4 \approx 0.348

$P(B_1|A)={P(A|B_1)P(B_1)\over \sum_{i=1}^3}P(A|B_i)P(B_i)={{1\over 3}\times {2\over 3}\over {1\over 3}\times {2\over 3}+{1\over 3}\times {3\over 4}+{1\over 3}\times {2\over 4}}\approx 0.348$

例：有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只正品经检验被认为是次品的概率0.005，已知产品的次品率为４％，若一产品经检验被认为是次品，求它确为次品的概率。
解：设 $A=\{产品经检验被认定为次品\}$ ， $B=\{产品本身为次品\}$ ，则题干中所给条件为： $P(B)=0.04，P(A|B)=0.99，P(A|\overline B)=0.005$ ，则所求为：