初识splay tree （二）

上周五夜里三点多更了一篇博客 初识splay tree (一) ，却只来得及写了一道简单模板题。今天补充一些关于splay tree 的实质性的内容。

splay 的产生：

splay 诞生的出发点是基于节点 [访问局部性] 的启发式优化：

Wiki
伸展树（英语：Splay Tree）是一种二叉查找树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它是由丹尼尔·斯立特（Daniel Sleator）和罗伯特·塔扬在1985年发明的1。

在伸展树上的一般操作都基于伸展操作：假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作，为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法， 在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生。伸展树是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

splay可以解决的问题

可以看出splay树同样是二叉查找树的一种，核心在于每次访问都把该节点提至根（通过旋转操作：zig、zag），可以证明这种方法使得各种操作均摊复杂度最坏为log(N)，证明过程详细见杨思雨的论文。
假如对于给定的一个序列S，除了现有如下一些操作需要满足：

单点查询、单点删除、单点修改、单点插入、区间删除、区间插入、区间修改、区间查询。

则此时splay就可以派上用途了，以上的每一个操作splay都可以均摊log(N)的时间复杂度内完成（具体如何做后面再说）。这是平衡二叉树（区间操作维护复杂度高)、线段树（不支持插入和删除）所不具备的。

注意：这里操作都是以 位置信息 为偏序关系这一前提，而不是数值信息 。即插入、删除、修改等操作都是以一个位置信息为标志的，比如删除[3，5]指删除序列中第3，4，5三个位置上的数值。

splay stree基本操作

前面提到，每次访问后提至根（伸展操作）是伸展树的关键，这一提至根的操作是通过旋转操作完成的，这里旋转操作和平衡二叉树的旋转本质相同，均是为了保证旋转前后中序遍历一致。
具体来说分为三种情况：

注意： splay 不像平衡二叉树那样严格要求平衡程度，这使得splay操作简单的同时，也必然存在退化成单链表的风险，然而即使如此，其均摊复杂度任然足够优秀，在实际表现中性能不错。

splay关于区间的维护

单点查询、单点删除、单点修改、单点插入、区间删除、区间插入、区间修改、区间查询。

还是刚才谈到的区间维护，这是splay的优势，具体如何使用伸展树实现呢，这里的关键仍然是伸展操作。

试想对于我们要访问的区间[a,b] (a<=b),通过伸展操作，将a-1提至根，将b+1提至根的右孩子，并且在旋转前后中序遍历不变的前提下，根的右孩子的左孩子就是我们想要访问的区间。

~~文中所有截图请允许我偷懒：)

区间修改的Lazy Tag应用

和线段数一样，在进行区间修改时，需要应用LazyTag，同时也为splay引入了pushdown()和update()操作，这本质与线段树无异。可以说如果学习过线段树，学习splay会轻松很多。
值得一提的是应用LazyTag的两个原则：

对于一个节点，访问前要执行pushdown()。
对于一个节点，update前需要对左右孩子进行pushdown()。
第二个其实就是来自第一个。

Splay 典型的练习题目：

NOI2005 维护数列

具体的代码编写和实现技巧写在第三篇吧~~~

---

扫码关注作者，定期分享技术、算法类文章