原码、反码、补码之加减运算

处理器对两个操作数进行运算时，按照无符号数求得结果，并相应设置进位标识C；同时，根据是否超出符号数的范围设置语出标识V。也就是说，如果将参加运算的操作数认为是无符号数，就应该关心进位；如果认为是有符号数，则要注意是否溢出。

所有的负数的反码等于原码各位取反（符号位除外），补码等于反码加一（符号位不变）。十六进制也是先转化为2进制的补码。 补码的用途是让机器学会减法运算的。因为所有的处理器是电路做的，电路其实只是加法器，只能做加法。如何能让电脑做减法呢？使用补码，减去一个数就等于加上它的补码。

原码加减法比较复杂，需要事先判断数的符号，然后决定做加法还是做减法运算。

补码的加减法运算比较简单，采用补码加减法运算，可将“正数加负数”的操作，转化为“正数加正数”的操作。一般计算机采取补码进行加减法运算。因为减法运算可以看作被减数加上一个减数的负值，即A-B=A+(-B)，故在此将机器中的减法运算和加法运算合在一起讨。

1、补码加减的基本公式

补码加法的基本公式为：

整数 [A]补+[B]补=[A+B]补 (mod 2n+1)

小数 [A]补+[B]补=[A+B]补 (mod 2)

对于减法：

因A-B=A+(-B)，则[A-B]补=[A+(-B)]补，由补码加法基本公式可得：

整数 [A-B]补=[A]补+[-B]补 (mod 2n+1)

小数 [A-B]补=[A]补+[-B]补 (mod 2)

[X+Y]补= [X]补+[Y]补         [X-Y]补= [X]补+[-Y]补 

2、溢出判断

计算机中超出机器字长的现象，称为溢出。在补码定点运算中，必须对结果是否溢出进行判断。

如果运算的结果，超出了计算机能表示的数的范围，会得出错误的结果，这种情况称为溢出。 

对于字长为n的计算机，那么它能表示的定点补码范围为－２^n－１≤Ｘ≤２^n－１-１，若运算结果小于－２^n－１或大于２^n－１-１，则发生溢出， 发生溢出时数值的有效位占据了符号位。 

两种判断方法：

（1）用一位符号位判断溢出

两个相同符号数相加，其运算结果符号（若符号位有进位，则将1丢掉）应与被加数相同，否则产生溢出。（这种判断方法不容易由硬件来实现）

（2）用两位符号位判断溢出

变形补码： 用变形补码做加法操作时，两位符号位连同数值部分一起参加运算。

运算结果溢出判断规则： 

正常时两个符号位的值相同

两个符号位不同，则表明发生了溢出。 

双符号位溢出判断法

双符号含义： 00表示运算结果为正数；

01表示运算结果正溢出； 

10表示运算结果负溢出；

                          11表示运算结果为负数。 

第一位符号位为运算结果的真正符号位。

3、实例（补码加减+溢出判断）

（-3）+（-4）（假设机器码字长8位（byte），其中1位表示符号位）：

-3：

原码：1000 0011

反码：1111 1100

补码：1111 1101

-4：

原码：1000 0100

反码：1111 1011

补码：1111 1110

==================

1111 1101

+ 1111 1110

-------------------------------

11111 1001

==================

运算结果：1111 1001（补码形式）

结果反码：1111 1000

结果原码：1000 0111（-7）

因为双位符号位为11，所以运算结果为负数，且结果未溢出。运算结果为-7。