数据结构 — 查找III

B+树的基本概念

 

【应用】为数据库设计的一种B树的变形树

 

【定义】

         一个m阶的B+树：

                 1.      每个分支结点至多有m棵子树（子结点）

1.      字和指向该子树的指针，不含有该关键字对应记录的存储地址（B树中结点还存储着对应磁盘页面的地址，便于从B树中找到结点后，从磁盘将该结点信息读入内存）

2.      在B+树中，叶结点包含了全部关键字，即在非叶结点中出现的关键字也会出现在叶结点中；而在B树中，叶结点包含的关键字和其他结点包含的关键字是不重复的。（其实这里的叶结点我的理解是终端结点）

 

 

 

 

 

 

 

散列表

 

【特点】根据关键字而直接进行访问的数据结构。通过散列函数

建立关键字和存储地址之间的一种直接映射关系。

         【注】理想情况下，对散列表进行查找的时间复杂度为O(1),即与表中个数无关。但是难免存在要解决冲突的情况即多个key被映射到同一个地址。

 

         冲突：散列函数可能会把两个或连个以上的不同关键字映射到同一地址

         同义词：这些发生碰撞的不同关键字

 

 

 

 

【散列函数】

 

【要求】        

1）  定义域必须包含所有关键字，而值域则依赖于散列表大小或地址范围。（可见允许多对一，毕竟内存资源是很宝贵的。）

2）  散列函数计算出来的地址应该等概率，均匀的分布在整个地址空间，从而减少冲突发生。

3）  散列函数应尽量简单，能够在较短时间内计算出任一关键字对应的散列地址。

 

【常用散列函数】

1.      直接地址法

 

直接取关键字的某个线性函数值为散列地址，散列函数为：

                            

【特点】这种计算方法最简单，并且不会产生冲突（线性函数保证了关键字和地址的一一对应，主要是实际中a,b如何取值呢？）。它适合关键字的分布基本连续的

况，若关键字分布不连续，空位较多，将造成空间的浪费。

 

1.      除留取余法

 

这是一种最简单常用的方法。假定散列表长度为m，取一个不大于m但最接近或等于m的质数p，利用一下公式把关键字转换成散列地址。散列函数为：

                                               

【特点】除留取余法关键是选好p，使得每一个关键字通过该函数装换后等概率的（并不要求一一对应，因为取余法的定义注定会有冲突产生）映射到散列空间上的任一地址，从而尽可能的减少冲突。

 

 

 

2.      折叠法

 

将关键字分割成位数相同的几部分（最后一部分可以短一些），然后取这几部分的叠加作为散列地址，这种方法称为折叠法。

 

【特点】 关键字位数很多，而且关键字中每一位数字分布大致均匀，可以采用折叠法得到散列地址。

 

 

【处理冲突】

 

         【引】应该注意到，任何设计出来的散列函数都不可能绝对的避免冲突，为此，必须考虑在发生冲突的时候应该如何进行处理。即为产生冲突的关键字寻找下一个空的hash地址。

 

         假设已经选定散列函数H(key)，下面用Hi表示发生冲突后第i次探测到的散列地址。

 

1.      开放地址法

【特点】 指的是可存放新表项的空闲地址既向它的同义词表项开放，又向它的非同义词表项开放（这就导致了空闲地址被争夺，进而引发次带影响）。其数学递推式：

式中，i=1,2…….,k（k < m-1）;m表示散列表表长，为增量序列。

 

当选定某一增量序列后，其对应的处理方法是确定的。（也就是说是事先确定好了的）

 

1）  线性探测法：

 

【特点】 当=1,2,….m-1（相对递增值），称为线性探测法。                   冲突发生时，顺序查看表中下一个单元（当探测到表尾地址m-1时，下一个探测地址是表首地址（通过递推式中取余来保证）），直到找出一个空闲单元（当表为填满时一定能找到一个空闲单元）或查遍全表

 

【分析】 线性探测法可能使第i个散列地址的同义词存入第i+1个散列地址，这样本应存入第i+1个地址元素就争夺第i+2个散列地址元素的地址…..从而造成大量元素在相邻散列地址上“聚集”（或堆积）起来，大大降低了查找效率。

 

2）  平方探测法

                  

                      【特点】当=，,其中k,m必须是一个可以表示成4k+3的质数 ，又称二次探测法。

 

                            【分析】

                            平方探测法是一种较好的处理冲突的方法，可以避免“堆积”问题，（但还是 会有冲突出现，注意区分”冲突“和”聚集“）。它的缺点是不能探测到散列表上所有单元，但至少能探测到一半的单元。

 

 

         【开放地址法—总结】

                   在开放地址法情况下，不能随便物理删除表中已有元素，因为若删除元素将会截断  起其他具有相同散列地址元素的查找位置。

如何去删除节点？

         若必须在散列表中删除结点，则不能将被删结点的关键字置为NIL，而应该将其置为特      定的标记DELETED。因此须对查找操作做相应的修改，使之探查到此标记时继续探查下去。同时也要修改插人操作，使其探查到DELETED标记时，将相应的表单元视为一  个空单元，将新结点插入其中。这样做无疑增加了时间开销，并且查找时间不再依赖于   装填因子。同时在执行多次删除后，表面上看散列表很满，实际上有许多位置没有利用。因此需      要定期维护散列表，要把删除标记的元素物理删除（并且把后面的同义词      移到前面来）。

      因此，当必须对散列表做删除结点的操作时，一般是用拉链法来解决冲突。

 

 

 

2．拉链法

        

         【引】为避免非同义词发生冲突，可以把所有同义词存储在一个线性链表中，这个线性链表由其散列地址唯一标识。

 

         【特点】散列地址为i的同义词链表的头指针存放在散列表的第i个单元，因而查找，   插入，删除操作主要在同义词链中进行。  拉链法适用于经常进行插入和删除的情况。

         

散列查找及性能分析   -----（适合查找）

 

【特点】散列表的查找和构造散列表的过程基本一致。

 

【执行步骤】

        

         初始化：Addr=Hash(key)

1.      检测查找表中地址为Addr的位置上是否有记录，若没有记录，返回查找失败；若有记录，比较它与key的值，若相等，返回查找成功标志，否则执行步骤2；

2.      用给定处理冲突的方法计算“下一个散列地址”,并把addr置为此地址，转入步骤1

 

【性能分析】

         散列表的查找效率取决于三个因素：散列函数，处理冲突的方法和装填因子。

 

         装填因子：散列表的装填因子一般记为，定义为一个表的装满程度，即：

散列表的平均查找长度依赖于散列表的填装因子，而不直接依赖于n或m（是二者综合效果），直观来看，越大，表示填装的记录越满，发生冲突的可能性越大，反之则越小。

 

         【小结】

         虽然散列表在关键字与记录的存储位置建立了直接映像，但由于“冲突”的产生，使得散列表的查找过程仍然是一个给定值和关键字比较的过程（要顺着解决冲突的方式查找嘛）。因此，仍需以平均查找长度作为衡量散列表查找效率的度量（理想状态下是O(1),即关键字和地址一一对应）