C++ 数据结构（二）向量（6）斐波那契查找

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【注】斐波那契查找是在二分查找的基础上根据斐波那契数列进行分割的

思路及原理

二分查找版本A的效率仍有改进的余地，因为不难发现

转向左、右分支前的关键码 比较次数 不等，而 递归深度 却相同

若能通过 递归深度 的不均衡，对 转向成本 的不均衡进行补偿

平均查找长度应能进一步缩短 …

比如，若设 n = fib(k) - 1，则可取 mi = fib(k - 1) - 1

于是，前、后子向量的长度分别为 fib(k - 1) - 1、fib(k - 2) - 1

查找长度

Fibonacci 查找的 ASL，（在常系数的意义上）由于二分查找

以 n = fib(6) - 1 = 7 为例，在等概率情况下

平均成功查找长度 = (5 + 4 + 3 + 5 + 2 + 5 + 4) / 7 = 28 / 7 = 4.00

平均失败查找长度 = (4 + 5 + 4 + 4 + 5 + 4 + 5 + 4) / 8 = 35 / 8 = 4.38

实现

template <typename T> // 0 <= lo <= hi <= _size
static Rank fibSearch(T *A, T const &e, Rank lo, Rank hi) {
    Fib fib(hi - lo); // 用 O(logn) = O(log(hi - lo)) 时间创建 Fib 数列
    while (lo < hi) {
        while (hi - lo < fib.get()) fib.prev(); // 至多迭代几次 ?
        // 通过向前顺序查找，确定形如 Fib(k) - 1 的轴点（分摊 O(1))
        Rank mi = lo + fib.get() - 1;    // 按黄金比例切分
        if (e < A[mi]) hi = mi;          // 前半段 [lo, mi)
        else if (A[mi] < e) lo = mi + 1; // 后半段 (mi, hi)
        else return mi;                  // 匹配
    }
    return -1; // 查找失败
}

最优性

通用策略：对于任何的 $ A[0, n) $，总是选取 $ A[\lambda n] $ 作为轴点，$ 0 ≤ \lambda < 1 $

比如：二分查找对应于 $ \lambda = 0.5 $，Fibonacci 查找对应于 $ \lambda = \phi = 0.6180339 \cdots $

在 $ [0, 1)$ 内，$ \lambda $ 如何取值才能达到最优？设平均查找长度 $ \alpha (\lambda) * \log_2 n $，何时 $ \alpha (\lambda) $ 最小

递推式：$ \alpha (\lambda) * \log_2 n = \lambda * [1 + \alpha (\lambda) * \log_2 (\lambda n)] + (1 - \lambda ) * [2 + \alpha (\lambda) * \log_2 ((1 - \lambda) n)] $

整理后：$ \frac{- \ln 2}{\alpha (\lambda)} = \frac{\lambda * \ln \lambda + (1 - \lambda) * \ln (1 - \lambda)}{2 - \lambda} $，当 $ \lambda = \phi $ 时，$ \alpha (\lambda) = 1.440420 \cdots $ 达到最小

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