动态规划：求最长公共子序列

动态规划：

什么是动态规划算法

动态规划一般也只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足，故有时需要引入一定的近似)。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。

动态规划算法分以下4个步骤：

1. 描述最优解的结构
2. 递归定义最优解的值
3. 按自底向上的方式计算最优解的值 //此3步构成动态规划解的基础。
4. 由计算出的结果构造一个最优解。 //此步如果只要求计算最优解的值时，可省略

问题描述：

字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。

令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xj=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1并且zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1并且zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

解决方法：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。

我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

//动态规划求最长公共子序列
void printLCS(int b[][maxnum],string str1,int m,int n);
int LCS(string str1,string str2){
    int m = str1.length()+1;
    int n = str2.length()+1;
    /*创建二维数组c[][],c[i][j]的值保存在表c[0...m,0...n]中,
    并按行主次序计算其值。过程中还要维护一个b[][]，帮助我们构造最优解，
    b[i][j]指向的表项对应c[i,j]时所选择的子问题最优。过程返回b和c，其中
    c[m][n]保存了两个字符串LCS的长度。
    */
    int c[maxnum][maxnum];
    int b[maxnum][maxnum];
    for(int i=0;i<m;i++){
        c[i][0] = 0;
    }
    for(int j=0;j<n;j++){
        c[0][j] = 0;
    }
    for(int i=1;i<m;i++){
        for(int j=1;j<n;j++){
            if(str1[i-1]==str2[j-1]){
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] =1;
            }
            else{
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
    printLCS(b,str1,m-1,n-1);
    cout<<endl;
    return c[m-1][n-1];
}
void printLCS(int b[][maxnum],string str1,int m,int n){
    if(m==0||n==0)
        return;
    if(b[m][n]==0){
        printLCS(b,str1,m-1,n-1);
        cout<<str1[m-1]<<" ";
    }
    else if(b[m][n]==1){
        printLCS(b,str1,m-1,n);
    }
    else
        printLCS(b,str1,m,n-1);
}
int main()
{
    string s1 = "ABCBDAB";
    string s2 = "BDCABA";
    cout<<LCS(s1,s2);
    return 0;
}