AtCoder Grand Contest 010 B - Boxes 验证解的存在性

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本文探讨了一种特殊的环形数组操作，通过一系列特定步骤尝试将数组中的所有元素变为零。文章提出了一种逆向思维的方法来解决这个问题，并提供了一个有效的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定N个围成一圈的数，重复进行下述操作：

挑选第i个数，从i+1转一圈回到i，依次减去1到N。

问是否存在一种操作使得最后整圈的数全为0。

解法：

将该过程倒着来看，就是每轮选择第i个数，从i+1转一圈回到i，依次加上1到N，将该操作设为操作1。问最后能否加到给定数列。

另d[i]=a[i]-a[i-1]，即考虑前数与后数之间的差，会发现，每次进行操作1时，差分的改变要么+1，要么-N+1，且两种情况里都有+1。故将查分减去s（操作的轮数），即处理掉+1的影响后。-N出现的次数恰为操作的轮数。编程验证一下上述关系式是否都满足就行了，

#include <cstdio>
const int maxn=100005;
long long tot,n,r,a[maxn],t;
void solve() {
    if (n==1) {
        puts("YES");
        return;
    }
    if ((tot<<1)%(n*(n+1))) {
        puts("NO");
        return;
    }
    r=tot/(n*(n+1)/2);
    for (int i=0;i<n;++i) {
        a[i]-=r;
        if (a[i]%n||a[i]>0) {
            puts("NO");
            return;
        }
        t+=a[i]/(-n);
    }
    puts(t==r?"YES":"NO");
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i) {
        scanf("%lld",&a[i]);
        tot+=a[i];
        a[i-1]=a[i]-a[i-1];
    }
    a[0]=a[0]-a[n];
    solve();
    return 0;
}