求逆序对（线段树版）

最新推荐文章于 2022-07-05 19:19:40 发布

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#数据结构 #线段树 #逆序对 #poj

本文介绍了一种利用线段树优化的方法来解决逆序对问题。传统方法通过枚举所有元素对，复杂度为O(n^2)，而通过建立一个数组并维护每个数出现的次数，再配合线段树进行查找和增加操作，可以将复杂度降低到O(nlogn)。当数值范围过大时，采用离散化技术将数值映射到1~n，进一步优化解决方案。以POJ2299题目为例，详细阐述了这一过程。

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一个序列a1,a2,a3...aN，求出满足：ai > aj 且 i < j 的个数。

一个最容易想到的方法就是枚举所有的i，j看看是否满足，显然是O（n^2）的复杂度。不够好。

可以这样考虑，开一个数组保存这n个数出现的位置和对应的次数，这个数组要开到a数组里最大的那个数MAX，也就是hash，初始状态数组里没有元素，每个数对应的个数都是0.

如果考虑第i个数，找到比它大的所有的数的个数，查找的范围即 ai+1~MAX，这就是到i这个位置的逆序对的总和，接着把a[i]这个数添加到数组里，也就是a[i]这个位置的数量加1。一直进行到n结束，逆序对就求了出来。

这样做得复杂度依然是O（n^2），但查找和增加的操作可用线段树解决，这样复杂度就降到了O(nlogn)。

还有一个问题，如果a[i]可以达到10^9甚至更大，数组都开不下，即便开的下，时间上也不能承受，这样就要用到离散化，将n个数映射到1~n的范围内，这个操作排序加二分可轻松解决。所有数控制在n 的范围内，线段树解决是非常理想的。

以POJ2299为例：题目就是要求逆序对。详见代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <set>
#include <stack>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define lson o<<1, l, m
#define rson o<<1|1, m+1, r
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 500500;
const int MAX = 0x3f3f3f3f;
int n, a, b,