[剑指Offer] 65_不用加减乘除做加法

题目

写一个函数，求两个整数之和，要求在函数体内不得使用＋、－、×、÷四则运算符号。

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思路

1. 思路很简单，学过数字电路的都明白…bit_a+bit_b生成一个bit_sum和ci（进位）。这题就是要模拟二进制加法，ci = a & b，sum = a ^ b。因为，1+0=0+1=1，0+0=1+1=0，只考虑这一位的话加法和异或是一样的，进位就考察是否a=b=1即可，即a & b=1。再用移位运算之后，加到sum进一位上，如此反复直到不再产生进位。代码很简单，但是Python有些特性，导致遇到负数的时候会有问题。在思考里说。
   1. 时间复杂度：O(n^2)，n位a和n位b相加，进位n次，每次相加n位。
   2. 空间复杂度：O(1)

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代码

思路1：时间复杂度：O(n^2)，空间复杂度：O(1)

def add(a, b):
    while b:
        a, b = (a ^ b) & 0xFFFFFFFF, ((a & b) << 1) & 0xFFFFFFFF
        # limit the bit length < 32
    return a if a < 0X7fffffff else ~(a ^ 0xFFFFFFFF)  # ~(a-1)

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思考

1. Python数字存储和C++很不一样，有2点：
   1. 负数bin(-1) = ‘-0b1’
   2. 数字没有位数限制
2. 如果直接照抄书上代码，处理负数的时候就会陷入死循环。

>>> -1 ^ 1
>>> -2
>>> (-1 & 1) << 1
>>> 2
>>> -2 ^ 2
>>> -4

3. 原因一开始我以为是负数存储机制的不同，但是经过计算。其实Python中负数存储的值是和C++一样的，只是打印出来的格式有异。问题出在位数限制上，如果在C++中，进位到最高位就会溢出，而Python却不会，而是变成一个更大的数。因此出现了无法停止的循环。
4. 解决方法就是，对所有数字 & 0xFFFFFFFF进行限制位数，在打印的时候转换负数。

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