POJ 1845

最新推荐文章于 2024-02-15 18:16:12 发布

Or_me

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分类专栏：数学文章标签：数论 poj

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本文介绍了一种求解A的B次方的所有因子的和模9901的方法。通过分解A的素因子及其次数，利用等比数列求和原理，结合快速幂取模算法实现高效计算。

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The question：求A的B次方的所有因子的和模9901的值
Solution：求出A的素因子x和个数y，每个素因子有 $y + 1$ 种取法，所有因子的总个数为

（ 1 + y [1] ） \times （ 1 + y [2] ） \times \cdot \cdot \cdot \times （ 1 + y [n] ）

$（1 + y[1]）\times（1 + y[2]）\times ··· \times（1 + y[n]）$
所以，所有因子的和为：

（ 1 + x [1] + x [1] 2 + \cdot \cdot \cdot x [1] y [1] ） \times （ 1 + x [2] + x [2] 2 + \cdot \cdot \cdot x [2] y [2] ） \times （ 1 + x [3] + x [3] 2 + \cdot \cdot \cdot x [3] y [3] ） \times \cdot \cdot \cdot \times （ 1 + x [n] + x [n] 2 + \cdot \cdot \cdot + x [n] y [n] ）

$（1+x[1]+x[1]^2+···x[1]^{y[1]}）\times（1 + x[2] + x[2]^2 + ··· x[2]^{y[2]}）\times（1 + x[3] + x[3]^2 + ··· x[3]^{y[3]}）\times ··· \times（1 + x[n] + x[n]^2 + ··· +x[n]^{y[n]}）$
Conclusion：求等比数列和的时候，并不能用公式求，需要二分来求。因为快速幂取模后，

1−qn $1 - q^n$ 会出现误差，不等于正确的结果，如果不去模又会溢出。
Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod = 9901;
long long quick(long long x, long long y)
{
    long long s = 1;
    for (; y; y >>= 1, x = x * x % mod)
        if (y & 1)
            s = s * x % mod;
    return s;
}
long long sum(long long q, long long n)
{
    if (!n)
    {
        return 1;
    }
    if (n & 1)//odd
    {
        return ((1 + quick(q, n / 2 + 1)) * sum(q, n / 2)) % mod;
    }
    else//even
    {
        return ((1 + quick(q, n / 2 + 1)) * sum(q, n / 2 - 1) + quick(q, n / 2)) % mod;
    }
}
long long Sum(long long q, long long n)
{
    return (1 - quick(q, n + 1))/ (1 - q);
}
int main()
{
    long long A, B;
    while(~scanf("%lld%lld", &A, &B))
    {
        int c = 0;
        long long ans = 1;
        for (int i = 2; i * i <= A; i++)
        {
            int num = 0;
            if (A % i == 0)
            {
                while (A % i == 0)
                {
                    A /= i;
                    num++;
                }
            }
            if (num)
                ans = ans * Sum(i, B * num) % mod;
        }
        if (A != 1)
        {
            ans = ans * Sum(A, B) % mod;
        }
        printf("%lld\n", ans % mod);
    }
    return 0;
}