NYOJ 298 点的变换

点的变换
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难度：5
描述
平面上有不超过10000个点，坐标都是已知的，现在可能对所有的点做以下几种操作：

平移一定距离(M)，相对X轴上下翻转(X)，相对Y轴左右翻转(Y),坐标缩小或放大一定的倍数(S),所有点对坐标原点逆时针旋转一定角度(R)。   

操作的次数不超过1000000次，求最终所有点的坐标。

 

提示：如果程序中用到PI的值，可以用acos(-1.0)获得。

输入
只有一组测试数据
测试数据的第一行是两个整数N,M，分别表示点的个数与操作的个数(N<=10000,M<=1000000)
随后的一行有N对数对，每个数对的第一个数表示一个点的x坐标，第二个数表示y坐标，这些点初始坐标大小绝对值不超过100。
随后的M行，每行代表一种操作，行首是一个字符：
首字符如果是M,则表示平移操作，该行后面将跟两个数x,y，表示把所有点按向量(x,y)平移;
首字符如果是X，则表示把所有点相对于X轴进行上下翻转;
首字符如果是Y，则表示把所有点相对于Y轴进行左右翻转;
首字符如果是S，则随后将跟一个数P,表示坐标放大P倍;
首字符如果是R，则随后将跟一个数A,表示所有点相对坐标原点逆时针旋转一定的角度A(单位是度)

输出
每行输出两个数，表示一个点的坐标(对结果四舍五入到小数点后1位，输出一位小数位）
点的输出顺序应与输入顺序保持一致
样例输入
2 5
1.0 2.0 2.0 3.0
X
Y
M 2.0 3.0
S 2.0
R 180样例输出
-2.0 -2.0
0.0 0.0

经典题目1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转
这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。

其实很轻易证明每次操纵要乘与什么矩阵

x1 x2 x3 x x1*x+x2*y+x3

x4 x5 x6 X y = x4*x+x5*y+x6

x7 x8 x9 1 x7*x+x8*y+x9

如平移向量(a,b)，x1=x5=1，x2=x4=0，x3=a，x4=b

值得注意的是矩阵有结合律但是没有交换率，前面的操纵应当放在乘号的左边

 

线性代数学习：http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html

 

AC的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#define MAX 11000
#define PI acos(-1.0)    //定义PI
struct node{
	double x,y;
}roads[MAX];
typedef struct snode{
	double edge[3][3];
}Matrix;
Matrix ant,map,h,xx,yy,mm,ss,rr;

void Mult(Matrix &a,Matrix &b,Matrix &c)   //矩阵C=A*B
{
	int i,j,k;
	memset(h.edge,0,sizeof(h.edge));
	for(i=0;i<3;i++)
		for(j=0;j<3;j++)
			for(k=0;k<3;k++)
				h.edge[i][j]+=(a.edge[i][k]*b.edge[k][j]);
	for(i=0;i<3;i++)
		for(j=0;j<3;j++)
			c.edge[i][j]=h.edge[i][j];
}

int main()
{
	char ch;
	int i,n,m;
	double a,b;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=0;i<n;i++)
		scanf("%lf%lf",&roads[i].x,&roads[i].y);
	memset(map.edge,0,sizeof(map.edge));
	memset(xx.edge,0,sizeof(xx.edge));
	memset(yy.edge,0,sizeof(yy.edge));
	memset(mm.edge,0,sizeof(mm.edge));
	memset(ss.edge,0,sizeof(ss.edge));
	memset(rr.edge,0,sizeof(rr.edge));
	xx.edge[0][0]=xx.edge[2][2]=1,xx.edge[1][1]=-1;  //X轴对称
	yy.edge[1][1]=yy.edge[2][2]=1,yy.edge[0][0]=-1;  //Y轴对称
	mm.edge[0][0]=mm.edge[1][1]=mm.edge[2][2]=1;     //平移
	ss.edge[0][0]=ss.edge[1][1]=ss.edge[2][2]=1;     //缩放
	rr.edge[0][0]=rr.edge[1][1]=rr.edge[2][2]=1;     //旋转(逆时针)
	map.edge[0][0]=map.edge[1][1]=map.edge[2][2]=1;
	while(m--)
	{
		getchar();
		scanf("%c",&ch);
		if(ch=='X')        //X轴对称
            Mult(xx,map,map);
		else if(ch=='Y')   //Y轴对称
            Mult(yy,map,map);
		else if(ch=='M')   //平移向量(a,b)
		{
			scanf("%lf%lf",&a,&b);
			mm.edge[0][2]=a,mm.edge[1][2]=b;
            Mult(mm,map,map);
		}
		else if(ch=='S')   //缩放a倍
		{
			scanf("%lf",&a);
			ss.edge[0][0]=ss.edge[1][1]=a;
            Mult(ss,map,map);
		}
        else               //旋转(逆时针)a度
        {
            scanf("%lf",&a);
            b=a/180*PI;                 //角度制转化为弧度制
            rr.edge[0][0]=rr.edge[1][1]=cos(b);
            rr.edge[0][1]=-sin(b);
            rr.edge[1][0]=sin(b);
            rr.edge[2][2]=1;
            Mult(rr,map,map);
        }
	}
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		memset(ant.edge,0,sizeof(ant.edge));   //ant初始化为单位矩阵
		ant.edge[0][0]=roads[i].x;
		ant.edge[1][0]=roads[i].y;
		ant.edge[2][0]=1;
		Mult(map,ant,ant);
		printf("%.1lf %.1lf\n",ant.edge[0][0],ant.edge[1][0]);
	}
	return 0;
}